04. Перпендикуляр к прямой

Повторение перпендикулярности двух прямых

Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

, поскольку четыре угла по . Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. и – смежные углы. И по теореме о смежных углах .

В единственном случае . В этом случае прямые и называются перпендикулярными.

Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Отсюда следует, что и не имеют общих точек. Прямые   и можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.

Определение перпендикуляра к прямой

Определение: Пусть прямые и перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по , необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок называют перпендикуляром, проведенным из точки к прямой , если прямые и перпендикулярны. При этом точка называется основанием перпендикуляра.

В данном случае перпендикуляр – это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой – это отрезок.

Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой

Существует множество точек, которые не лежат на прямой . Из любой точки , не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка не принадлежит прямой .

Доказать: существует единственный отрезок , где .

Доказательство:

1. Проведем 2 равных угла. или .

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка перейдет в точку . (перегибание по прямой ).

3. Соединим точки и . Получим точку . Углы , .

Следовательно, треугольники по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, . Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по . А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки можно провести перпендикуляр к прямой .

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

, .

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку . Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки можно провести лишь один перпендикуляр к прямой .

Решение задач

Пример 1: Точки и лежат по одну сторону от прямой . Перпендикуляры и к прямой равны.

1. Докажите, что .

2. Найдите , если .

Дано: А) , .

Доказать: .

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

Дано: Б) , . , . Найти .

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

1. . (, – общая, ). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. .

2. . Поскольку эти углы лежат против равных сторон и соответственно.

3.

Ответ: .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №13(б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найдите эти углы.

3. Прямые  и  взаимно перпендикулярны и . Докажите, что .

4. № 14(г). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.