05. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение медианы треугольника

Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

, , – вершины треугольника.

, ,  – середины сторон треугольника. 

, ,  – медианы треугольника.

У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.

Определение биссектрисы треугольника

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.

, , – вершины треугольника.

, ,  – биссектрисы треугольника.

Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.

Определение высоты треугольника

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

, , – вершины треугольника. 

, ,  – высоты треугольника.

Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:

Перпендикуляр, опущенный с вершины на прямую , это перпендикуляр , который является высотой треугольника.  – это перпендикуляр, опущенный с вершины на прямую , которая содержит сторону .  – это вторая высота треугольника.  – третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.

Решение задач

Пример 1: Медиана треугольника продолжена за сторону на отрезок , равный , и точка соединена с точкой .

1.  Докажите, что .

2.  Найдите , если , .

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

, треугольник треугольнику по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник треугольнику . Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. . .

Ответ: .

Пример 2: треугольник  треугольнику .

Доказать: медианы и  равны.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

1 способ:

. 

Отсюда следует, что треугольник треугольнику . А из равенства треугольников следует, что , что и требовалось доказать.

2 способ: совмещение треугольников и . При этом точка перейдет в точку , а точка в точку . Значит, отрезки и  совместятся. .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника. С этими важными элементами мы будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы рассмотрим равнобедренный треугольник и его свойства.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №28(а). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На стороне треугольника отмечена такая точка , что периметры треугольников и отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника , если .

3. Какие элементы (части) треугольника совпадут при перегибании его по биссектрисе?

4. Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, равен сумме двух других углов.