01. Начальные геометрические сведения

Повторение основных геометрических фигур

Начнём урок с нескольких определений.

Геометрия – наука, которая занимается изучением геометрических фигур. Геометрия делится на два раздела – планиметрия и стереометрия.

Планиметрия – раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Примерами таких фигур могут быть отрезок, прямая, треугольник.

Стереометрия – раздел геометрии, раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

Геометрическая фигура – это совокупность точек.

Повторим ключевые понятия геометрии курса 7 класса.

Рассмотрим простейшую фигуру – точку. Она обозначается заглавной буквой латинского алфавита, как показано на рисунке.

Прямая – это совокупность точек. Любая прямая может быть обозначена двумя способами – либо прописной буквой латинского алфавита, либо названием двух точек, которые лежат на данной прямой. Например, .

Очевидно, что прямая – это фигура, которая бесконечна. Любая геометрическая фигура состоит из простейших геометрических фигур – точки и прямой.

Геометрическая фигура, которая состоит из всех точек прямой, расположенных между двумя заданными, вместе с ними (концами отрезка) называется отрезком. Обозначение отрезка следующее: .

Угол – это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначение угла может иметь вид: .

Точка  – это вершина угла,  и  – стороны угла.

Теперь вспомним понятие «равные фигуры». Фигуры называются равными в случае, если их можно совместить наложением. Однако для простоты сравнения отрезков и углов вводятся понятия длина отрезка и градусная мера угла.

Отрезок измеряется в метрах (сантиметрах, километрах, миллиметрах). Чем больше длина отрезка, тем больше сам отрезок. И его можно сравнить с другими отрезками на плоскости.

Что касается угла, то градусная мера неразрывно связана с понятием развёрнутого угла.

Развёрнутый угол – это угол, стороны которого лежат на одной прямой.

Считается, что развёрнутый угол равен . Следовательно,  градус – это  часть развёрнутого угла. В практическом применении существуют ещё такие единицы измерения угла: (минут), (секунд). Если градусные меры двух углов равны, то и данные углы равны.

Смежные углы

Особое место занимает угол . Если развёрнутый угол разделить пополам, получим два угла по .

На рис. 6 изображены . Углы, градусная мера которых равна , называются прямыми.

Вспомним, что такое смежные углы. Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Опорный факт: сумма смежных углов :  и .

Пример 1

Решим опорную задачу.

Пример 1. Найти градусную меру угла между биссектрисами смежных углов.

Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой.

Решение

Выполним пояснительный рисунок к задаче:  и  – биссектрисы смежных углов  и  соответственно.

По свойству смежных углов, их сумма равна , поэтому , но поскольку  и  – биссектрисы, то , . Подставим данные выражения в основное соотношение: . Вынесем  за скобки: .

Делаем вывод: мы можем не знать градусные меры смежных углов, однако мы знаем их сумму –  и то, что угол между их биссектрисами равен .

Ответ: .

Вертикальные углы

Теперь пришло время вспомнить, что называется вертикальными углами.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых  и  в точке .

Если стороны одного угла являются продолжениям второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов:  и , а также  и .

Главное свойство данных углов состоит в том, что вертикальные углы равны. То есть , .

Закрепим наши знания с помощью конкретной задачи.

Пример 2

Пример 2.

Один из смежных углов в  раз больше другого. Найдите эти углы.

Решение

Сперва мы выполнили пояснительный рисунок и нанесли на него удобные нам обозначения. Как известно, один из углов в  раз больше другого, поэтому уясним, что . Как известно, сумма смежных углов равна , поэтому .

Выполним подстановку .

Соответственно, . Действительно, .

Ответ: , .

Справка: выполнение умножения на  можно свести к небольшому правилу (см. рис. 11).

Аксиома геометрии

Напоследок вспомним об аксиоме геометрии. Геометрическое утверждение, которое принимается без доказательств, называется аксиомой.

Аксиома: через две точки (далее – имеется в виду, через две разных точки, которые не совпадают друг с другом) можно провести прямую, и только одну.

Теорема. Рассмотрим следующую теорему: две прямые, которые пересекаются, имеют только одну общую точку.

Доказательство

Положим, что две пересекающиеся прямые имеют две общие точки. Тогда через две точки проходят две прямые, а это противоречит аксиоме 1. Следовательно, наше предположение неверно, в таком случае две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Таким образом, на данном уроке мы закрепили свои знания, полученные в теме «Начальные геометрические сведения».

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «scienceland.info‎» (Источник). 

Домашнее задание

1. №15-№16. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

2. Один из смежных углов в  раз больше другого. Найдите эти углы.

3. На прямой  отмечена точка . Найдите длину  в дециметрах, если  см,  м.

4. Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?