13. Обобщающий урок по теме «Треугольники». Решение задач

Повторение теоретического материала

Сначала вспомним, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

.

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

.

Третий признак равенства треугольников гласит, что треугольники могут быть равны по трем сторонам.

.

Подразумевается, что у данных треугольников равны все элементы, но мы доказываем равенство только трех элементов, и этого нам оказывается достаточно для утверждения равенства треугольников.

Не будем забывать о равнобедренном треугольнике – треугольнике с двумя равными сторонами. 

-  боковые стороны треугольника, а – основание треугольника. Важно заметить, что отрезок является и биссектрисой угла , и медианой к стороне , и высотой к стороне . Немаловажно указать равенство углов .

Решение задач

Рассмотрим типовые задачи по этой теме.

Пример 1: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Дано, что . , - биссектрисы. Доказать, что .

Доказательство:

Из равенства треугольников  следует равенство всех соответствующих их элементов. В частности, , , а также , так как данные углы – половины равных углов .

В свете вышеуказанного, треугольники  по второму признаку. Из равенства следует, что .

Что и требовалось доказать.

Если смотреть с позиции того, что , то все соответствующие стороны и углы совместятся наложением, например, и , и  и т.д. В конечном счете, и биссектрисы  и совместятся, а значит, они равны.

Пример 2: Прямая  проходит через середину отрезка и перпендикулярна  к нему. Докажите, что:

А. Каждая точка прямой равноудалена от точек и .

Дано: , . Доказать: .

Б. Каждая точка, равноудаленная от точек и , лежит на прямой .

Дано: , , . Доказать: .

Решение:

А. Выполним рисунок к задаче:

Поскольку , , а сторона – общая у треугольников и , то данные треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. В частности, .

Что и требовалось доказать.

Б.

В равнобедренном треугольнике (по определению, так как ) является медианой, а значит, и высотой. Поэтому , поэтому .

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если точка равноудалена от концов отрезка, она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «calc.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Докажите, что треугольники и равны. Отрезки и точкой пересечения делятся пополам. Прямые и , а также и перпендикулярные.

3. Докажите, что , если , а .

4. На указанном рисунке . Докажите, что если , то .