11. Общая схема решения задач на построение

Введение

Задачи на построение решаются с помощью двух инструментов: циркуля и линейки. Такие задачи включают в себя 4 основных этапа.

1. Анализ задачи:

   • анализируем исходные данные,

   • ищем связь между исходными данными и искомыми элементами,

   • вырабатываем план решения;

2. построение по намеченному плану;

3. доказательство того, что полученная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;

4. исследование.

В простых задачах некоторые этапы могут быть опущены.

Задача 1

Построить прямоугольный треугольник , где , если известны длины отрезков  и , на которые гипотенузу рассекает высота .

Решение 

Есть искомый прямоугольный треугольник, в котором ,  – высота,  и  (Рис. 1).

То есть имеется два отрезка  и  длиной  и  соответственно (Рис. 2).

Задача состоит в том, что нужно построить прямоугольный треугольник по этим данным.

Решаем поэтапно.

1. Анализ задачи (как построить искомый треугольник): можно взять любую прямую, на ней взять фиксированную точку , отложить по разные стороны от нее отрезки длиной  и , таким образом получить точки  и  (Рис. 3).

Как получить вершину ? Для начала нужно понять, что она лежит на перпендикуляре, который можно провести из вершины . Но ведь на этом перпендикуляре бесконечное количество точек. Чтобы определить, какая именно из точек является искомой точкой , нужно вспомнить свойство прямоугольного треугольника: , где  – середина гипотенузы. Отсюда следует, что точка  лежит на окружности, центр которой находится в точке  и радиус которой равен половине гипотенузы. Тогда точка  – это точка, образованная при пересечении перпендикуляра, проведенного из точки , и окружности, которой находится в точке  и радиус которой равен половине гипотенузы (Рис. 4).

2. Построение по намеченному плану

Берем прямую , на этой прямой точку . Откладываем отрезок  длиной  и отрезок  длиной . Проводим прямую  через точку  так, чтобы , и окружность с центром в точке  ( – середина ) и радиусом . Окружность пересекает прямую  в двух точках –  и . Получили треугольники  и  (Рис. 5).

3. Доказательство

Но равен ли угол  и ? , т.к. . , т.к.  (Рис. 6).

4. Исследование

Треугольники  и  являются искомыми (обоснование смотри в пункте  и ).

 (по катету и гипотенузе). Если считать равные треугольники за один треугольник, то задача имеет единственное решение.

Задача 2

Построить прямоугольный треугольник по катету, разнице гипотенузы и другого катета.

Решение

По условию задачи дано: , первый катет , второй катет , гипотенуза , .

1. Анализ задачи: на произвольной прямой отложим отрезок  длиной  и из точки  проведем перпендикуляр . Получим две вершины прямоугольного треугольника  и  и прямую , где лежит вершина  (Рис. 7).

Мы использовали условия , первый катет . Осталось воспользоваться условием . Пусть найдена вершина  и искомый треугольник  построен (Рис. 8).

Отложим отрезок , длина которого  (Рис. 9).

Отсюда следует, что точка  равноудалена от точек  и , а значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку . Важно, что мы можем построить прямоугольный треугольник  по имеющимся по условию катетам  и  (Рис. 10).

1. Построение по плану

• Построить прямоугольный треугольник по двум данным катетам  и  (Рис. 11).

• Строим серединный перпендикуляр  к гипотенузе полученного треугольника. ,  (Рис. 12).

3. Доказательство

Такая точка  действительно существует. Докажем это. Предположим, что точка  не существует. Тогда . А значит, . Тогда получается, что в треугольнике  два прямых угла, чего быть не может (Рис. 13). Значит, прямые  и  не параллельны, то есть пересекаются, тогда точка  существует.

Выясним, как расположена точка  по отношению к точке . Из рисунка видно, что если , то точка  лежит выше точки  (Рис. 14). А если , то точка  лежит ниже точки .

Заметим, что если , то треугольник не существует. Почему? Рассмотрим разность . Чтобы треугольник существовал нужно, чтобы , то есть должно выполняться условие .

, то точка  лежит выше точки , теперь можно нарисовать треугольник  (Рис. 15).

4. Исследование

Этот треугольник искомый, т.к. , , . Задача имеет единственное решение, т.к. исходный треугольник с катетами  и  единственный, серединный перпендикуляр к гипотенузе единственный и точка пересечения серединного перпендикуляра с прямой, содержащей исходный катет, единственная. Вывод: если , задача решений не имеет, если , задача имеет единственное решение.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2010.

2. Геометрия 7 класс, А.Г. Мерзляк. М.: Вентана-Граф, 2015.

3. Геометрия 7 класс, А.Д. Александров. М.: Просвещение, 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

2. Постройте треугольник по высоте, одной из боковых сторон и разности углов при основании.

3. Постройте остроугольный треугольник  по сумме углов  и , высоте  и стороне .