11. Окружность. Типовые задачи

Определение окружности и ее элементов

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.

На рисунке 1 изображена окружность.

Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (, ), что читается: «Окружность с центром в точке и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Таким образом, существуют следующие обозначения:

– центр окружности;

– радиус окружности;

– радиусы окружности;

– хорда;

– диаметр;

– связь между радиусом и диаметром.

Решение задач

Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги и для заданных точек и .

Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.

Решение:

Определим основные элементы данной окружности:

– центр окружности;

– радиусы окружности;

, – хорды;

– диаметр.

В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.

Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами и . Докажите, что хорды и равны. Докажите, что хорды и равны. Докажите, что углы и равны.

Решение:

Для начала выясним, что , так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности.  Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например,  по первому признаку, так как как радиусы, аналогично,  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что .

Далее докажем, что  аналогично по первому признаку. , как радиусы, а  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что .

Далее докажем, что  по третьему признаку. – общая сторона у треугольников, по доказанному утверждению в п. 2, как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что .

Что и требовалось доказать.

Пример 3: отрезок – диаметр окружности, а и – равные хорды. Найдите угол .

Решение:

По определению,  – равнобедренный, так как . Поскольку – – радиусы окружностей, то – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно, .

Ответ: .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «calc.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.

3. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.

4. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.