05. Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей

Повторение

Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются.

и  – прямые, – секущая.

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:

- накрест лежащие углы: и , и ;

- односторонние углы:  и ,  и ;

- соответственные углы:  и , и , и , и .

Основные теоремы о параллельности прямых:

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то соответственные углы равны.

Если сумма внутренних углов равна , то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то сумма внутренних углов равна .

Рассмотрим некоторые типовые задачи на признаки параллельности прямых.

Задача 1

Задача 1:

Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна . Найдите эти углы.

Дано: , .

Найти: и .

Решение:

Поскольку прямые и параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Следовательно, .

Тогда , .

Ответ: .

Задача 2

Задача 2:

Найдите все углы, образованные при пересечении параллельных прямых и с секущей , если:

А. один из углов равен ;

Б. один из углов на  больше другого.

А.

Дано: , .

Найти: , , , , , , .

Решение:

1.  (как вертикальные);

2. (как смежные);

 (как вертикальные);

;

3.  и (как соответственные)

 и  (как вертикальные)

Ответ: , .

Б.

Дано: , .

Найти: , , , , , .

Решение:

1. 

.

Тогда .

2. и (как соответственные)

 и (как вертикальные)

Ответ: , .

Задача 3

Задача 3:

На рисунке , прямые и – биссектрисы углов 1 и 2. Докажите, что .

Доказательство:

Из того, что , по свойству параллельных прямых вытекает, что  .

Следовательно, углы 3, 4, 5, 6 тоже будут равны между собой, как половинки равных углов.

Тогда из того, что , по первому признаку параллельности прямых  , что и требовалось доказать.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com»‎ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Докажите, что биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых параллельны.

2. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой так, что сумма двух из полученных восьми углов равна . Найдите меры всех образованных углов.

3. Через точку, не лежащую на прямой , проведено три прямые. Докажите, что по крайней мере две из них пересекают прямую .