03. Параллельные прямые

Определение параллельности прямых

Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек. Иными словами, если рассматривать геометрию на плоскости: параллельные прямые не пересекаются.

Аксиома: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, притом только одну.

Углы при параллельных и секущей

Основные свойства углов при двух параллельных прямых и секущей

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. При этом некоторые пары углов нам уже знакомы – смежные и вертикальные. Таким образом, ,  – смежные, ,  – вертикальные, ,  – смежные и т.д.

Вспомним, что углы ,  являются соответствующими, равно как и пары углов , ; ,  и т.д.

Углы ,  называются внутренними накрест лежащими, равно как и пара углов , .

Углы ,  являются внутренними односторонними, равно как и , .

Рассмотрим соотношения между выше указанными углами.

Соответствующие углы равны.

Накрест лежащие углы равны. Докажем данное утверждение на примере углов  и . Можно заметить, что  как вертикальные (рис. 2). А в свою очередь  как соответствующие. Следовательно, .

Сумма внутренних односторонних углов равна . Докажем это утверждение при помощи смежных и вертикальных углов на примере , . Углы  как соответствующие, а углы  как смежные. Выразим . И подставим в равенство , следовательно .

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим признаки параллельности прямых.

Признак 1. Если при пересечении двух прямых образовались равные накрест лежащие углы, данные прямые параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых образовались равные соответствующие углы, данные прямые параллельны.

Признак 3. Если при пересечении двух прямых сумма внутренних односторонних углов равна , данные прямые параллельны.

На рис. 6 углы .

Решение задач

Закрепим наши знания на задаче 212 из учебника «Геометрия 7–9» из учебника Атанасяна Л.С.

Пример 1. Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то градусные меры данных углов равны или в сумме равны .

Решение

Если рассматривать углы  и , то они в сумме равны , а если говорить об углах  и , то они равны. Рассмотрим лишь второй случай в задаче.

Продлим стороны угла ,  так, чтобы  стала параллельной прямой к . Рассмотрим параллельные прямые  и  (по условию) и секущую .  (как соответствующие). Теперь рассмотрим параллельные прямые  и  и секущую .  (как соответствующие). Учитывая, что , а , то . Что и требовалось доказать.

Таким образом, на данном уроке мы вспомнили материал о параллельных прямых и свойствах углов между параллельными прямыми и секущей.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 215, 216. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. под ред. Тихонова А.Н. Геометрия 7–9 классы. М.: Просвещение. 2010.

2. Прямая, проходящая через середину биссектрисы  треугольника  и перпендикулярная , пересекает сторону  в точке . Докажите, что .

3. Докажите, что треугольники  и  равны. Прямые  и  параллельные.

4. Даны две прямые  и . Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую , пересекает и прямую , то прямые  и  параллельны.