09. Перпендикулярные прямые

Понятие «перпендикулярные прямые», теорема о пересечении прямых

Рассмотрим частный случай смежных углов, если они оба равны.

На рисунке изображены смежные углы и . .

Определение: Если пересекающиеся прямые образуют угол , то они называются перпендикулярными. На рисунке 2 изображены перпендикулярные прямые и .

Обозначение перпендикулярных прямых следующее: .

Очевидно, что существует множество прямых, которые перпендикулярны данной прямой. Рассмотрим 2 из них.

На рисунке 3 изображена прямая и две прямые, которые перпендикулярны ей,  и . Докажем, что данные прямые не пересекаются между собой.

Докажем методом «от противного». Предположим, что прямые  и пересекаются в точке , тогда существует и другая точка пересечения в другой полуплоскости относительно прямой . Соответственно, через 2 точки проходит две прямых, а это противоречит аксиоме. Наше изначальное предположение неверно, прямые и не пересекаются.

и не пересекаются.

То есть две прямые, перпендикулярные третьей, не имеют общих точек между собой.

Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Градусная мера угла равна . Луч делит данный угол на два. Найти градусную меру угла между биссектрисами образовавшихся и .

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Пусть , тогда  (– биссектриса). Пусть , тогда   (– биссектриса).

Ответ: .

Пример 2: Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение:

Рассмотрим вертикальные углы и . Биссектрисы этих углов соответственно и . Поскольку вертикальные углы равны, то пусть  . Тогда . Угол . Поскольку и – смежные, то . Очевидно, чтобы доказать, что и лежат на одной прямой, необходимо доказать, что угол – развернутый. Для этого выполним алгебраическое сложение: .

Доказано.

Пример 3: Могут ли прямые и быть перпендикулярными к прямой a?

Решение:

Сама по себе прямая может быть перпендикулярной прямой a. Также прямая тоже может быть перпендикулярна a. Поскольку прямые и пересекаются, то одновременно перпендикулярными прямой a они быть не могут.

Ответ: Соотношение невозможно.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru»‎ (Источник).

2. Интернет-портал «kaknauchit.ru»‎ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 15. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Постройте перпендикулярные прямым прямые, проходящие через заданные точки.

3. Сколько пар прямых углов образуется при пересечении в одной точке трех пар взаимно перпендикулярных прямых?

4. Прямая перпендикулярна прямой . Углы 1 и 2 равны. Докажите, что углы и равны.