02. Первый признак равенства треугольников

Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника

На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема: Дано , ,. Доказать: и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины и , отрезки и ,  и совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадёт с .

Теорема доказана.

Решение задач

Рассмотрим несколько задач.

Пример 1:

Отрезки и точкой их пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.

Отметим, что углы и равны, как вертикальные, а стороны и треугольника соответственно равны сторонам и треугольника . Поэтому треугольники и равны по первому признаку.

Пример 2:

Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Решение:

В предыдущей задаче мы доказали, что  по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что , .

Теперь рассмотрим треугольники . У них – общая сторона, , а (по доказанному). Поэтому  по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.

Пример 3:

На рисунке 3 отрезки и равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что см, см. Доказать, что . Найдите длины отрезков и .

Треугольники  равны по первому признаку, ведь , , а – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: см,

см.

Ответ: см, см.

Пример 4:

На рисунке 5 . Угол равен углу , см, см. Доказать, что . Найдите и .

Решение:

Треугольник равен треугольнику .   по первому признаку. , , а – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что см, см.

Ответ: см, см.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «calc.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1.  № 36. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2.   Докажите, что треугольники и равны. Отрезки и точкой пересечения делятся пополам.

3.  Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его биссектрисе.

4.  *На сторонах угла отложены равные отрезки и и проведена его биссектриса, на которой отмечена точка . Докажите, что является биссектрисой угла .