14. Построение треугольника по трём элементам. Задачи на построение

Введение

Любое построение мы осуществляем с помощью двух чертежных инструментов – линейки и циркуля. Циркулем мы можем проводить любые окружности. С помощью линейки мы можем проводить прямые линии, соединять точки.

Любая задача на построение решается в четыре этапа, а именно:

1. анализ исходных данных и составление плана решения;

2. выполнение построения по намеченному плану;

3. доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;

4. исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение. А если имеет, то сколько решений.

Пример

Дано:

Построить: треугольник по заданным элементам.

Решение

Предположим, что искомый треугольник построен (рис. 2).

Проанализировав полученный треугольник, мы можем заметить, что он состоит из двух прямоугольных треугольников, которые мы легко умеем строить по катету и гипотенузе, которые даны нам по условию.

Построение:

Доказать, что построенный треугольник удовлетворяет условиям задачи, очень просто. Все заданные элементы присутствуют и их длины соответствуют заданным. Теперь самый сложный этап в этой задаче. При всех ли значениях , ,  задача имеет решение? Конечно, нет. Одним из важных условий является то, что , . То есть длина перпендикуляра должна быть меньше длины обеих наклонных.

Осталось понять, сколько решений имеет задача.

• – решение одно (рис. 3).

• – два решения (рис. 4).

Опорные факты

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка (рис. 5). Если .

И наоборот: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку: .

Доказать это утверждение несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники  и  и доказать их равенство.

Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, проходящей через точки  и , будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку .

Свойство биссектрисы угла

Любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла (рис. 6).

И наоборот, точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Вспомним, что  (длина перпендикуляра), аналогично: .

Доказать этот факт несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники  и , и доказать, что они равны.

Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, вписанной в угол, будет лежать на биссектрисе этого угла (рис. 7).

Задача

Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение? 

Решение

Предположим, что такая окружность построена, а значит, ее центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  (свойство серединного перпендикуляра). Но если такая окружность построена, то и перпендикуляр к отрезку  будет проходить через ее центр (рис. 8).

Делаем вывод, что если такая окружность и существует, то ее центр лежит на пересечении двух серединных перпендикуляров.

Переходим к построению.

1. Проводим  – серединный перпендикуляр к .

2. Проводим  – серединный перпендикуляр к .

3. Находим точку .

4. Проводим окружность, где .

Построенная нами фигура удовлетворяет условиям задачи, так как она проходит через три заданные точки.

Переходим к исследованию. Всегда ли задача будет иметь решение? Нет, так как серединные перпендикуляры к отрезкам будут пересекаться не во всех случаях. Например, если серединные перпендикуляры параллельны, это произойдет в том случае, если заданные точки лежат на одной прямой (рис. 9).

По существу мы решили задачу, где три точки образовывают треугольник, а в этом случае существует всего одна окружность, которую можно вокруг него описать, и все вершины треугольника будут лежать на ней. В этом случае задача имеет одно решение. Если заданные точки лежат на одной прямой, то задача не имеет решений.

Заключение

Мы рассмотрели общий план решения задач на построение, вспомнили его основные этапы (анализ, построение, доказательство, исследование). Выяснили, что для решения подобных задач необходимо знать опорные факты (свойство серединного перпендикуляра, свойство биссектрисы угла).

Список рекомендованной литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолова В. В. / Под ред. Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение.

Домашнее задание

Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

Из точки  к окружности с центром  и радиусом  проведена касательная. Докажите, что точка  касания лежит на основании равнобедренного треугольника , у которого , .