09. Построение треугольника по трём элементам

Пример 1, Пример 2

Данная тема имеет широкое практическое применение, поэтому рассмотрим некоторые типы решения задач. Напомним, что любые построения выполняются исключительно с помощью циркуля и линейки.

Пример 1:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: Предположим, анализируемый треугольник выглядит так

Пусть заданные отрезки будут и , а заданный угол будет .

Построение:

Сначала следует отложить угол 1

Затем на сторонах данного угла откладываем циркулем две данные стороны: замеряем циркулем длину стороны и помещаем остриё циркуля в вершину угла 1, а другой частью делаем насечку на стороне угла 1. Аналогичную процедуру проделываем со стороной .

Затем соединяем полученные насечки, и мы получим искомый треугольник .

Будет ли данный треугольник равный предполагаемому? Будет, ведь элементы полученного треугольника (две стороны и угол между ними) соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данным в условии. Поэтому по первому свойству равенства треугольников -  – искомый.

Построение выполнено.

Примечание:

Напомним, как отложить угол, равный данному.

Пример 2

Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол и луч . Построить .

Построение:

1. Построить окружность Окр(, ). Точки и – являются точками пересечения со сторонами угла .

1. Построить окружность Окр(, ). Точки и – являются точками пересечения со сторонами угла .

1. Угол – искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3

Построить треугольник по известной стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть анализируемый треугольник выглядит так:

Тогда заданные отрезки выглядят таким образом.

Построение:

Отложим угол  на плоскости.

Отложим на стороне данного угла длину стороны .

Затем отложим от вершины угол . Необщие стороны углов и пересекаются в точке .

Является построенный треугольник искомым? Является, так как сторона и два прилежащих к ней угла построенного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними, данных в условии  - искомый по второму признаку равенства треугольников

Построение выполнено

Пример 4

Построить треугольник по 2 катетам

Дано

Пусть анализируемый треугольник выглядит так.

Известные элементы – катеты.

Данная задача отличается от предыдущих тем, что угол между сторонами можно определить по умолчанию – .

Построение:

Отложим угол, равный . Делать это будем точно так же, как показано в примере 2.

Затем на сторонах данного угла откладываем длины сторон и , данных в условии.

В результате полученный треугольник – искомый, ведь его две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данными в условии

Заметим, что отложить угол можно, построив две перпендикулярные прямые. Как выполнить эту задачу, рассмотрим в дополнительном примере

Дополнительный пример

Восстановить перпендикуляр к прямой , проходящий через точку ,

Дано:

Прямая р, и точка А, лежащая на данной прямой.

Построение:

Сначала выполним построение окружности произвольного радиуса с центром в точке .

Данная окружность пересекает прямую в точках и . Затем построим две окружности Окр(, ), Окр(, ). Данные окружности пересекаются в точках и . Отрезок – искомый, .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Репетитор по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 285, 288. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина  И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противолежащему основанию.

3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

4. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины данного угла.