13. Построение треугольника по трём элементам в более сложных случаях

Введение

Как в простых, так и в сложных задачах на построение мы используем все те же четыре этапа (анализ, построение, доказательство, исследование) и неизменные инструменты – циркуль и линейку.

Задача 1

Дано: постройте треугольник по периметру и двум углам (Рис. 1).

Построить .

Решение: начнем с анализа задачи. Нам дан периметр, причем . Также нам известны два угла  и . Предположим, что искомый треугольник построен (Рис. 2).

Давайте отложим сторону , проведя окружность с центром в точке  и получим точку , причем . По такому же принципу получим точку , проведя окружность с центром в точке  и радиусом  (). Мы получили отрезок, длина которого равна  (Рис. 3).

Рассмотрим треугольник , его сторона  равна заданному периметру треугольника. Рассмотрим углы. Учитывая, что , получаем, что треугольник  – равнобедренный. Аналогично  – равнобедренный. Значит, используя свойства равнобедренных треугольников, получаем, что в каждом из них углы при основании равны.

Осталось связать эти углы с углами  и . Вспомним теорему о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним. Угол , (Рис. 4).

Применив данную теорему к нашей задаче, мы получим, что .

Аналогично получаем, что  (Рис. 5).

1. .

Теперь мы примерно представляем, какова будет схема построения. Построить треугольник  не составит труда (мы знаем в нём длину стороны и два угла), но как отложить точки  и ? Есть несколько способов, но самым удобным и простым будет воспользоваться свойством серединного перпендикуляра. Проведем серединный перпендикуляр для прямых  и  и получим точки  и , равноудаленные от концов соответствующих отрезков (Рис. 6).

Переходим к схеме построения.

1. Построим  по стороне и двум прилежащим углам.

2. Провести  – серединный перпендикуляр к .

3. Провести  – серединный перпендикуляр к .

Искомый треугольник построен.

Докажем, что треугольник построен правильно. Сумма длине его сторон равна стороне , то есть равна заданному значению , а прилежащие к ней углы равны данным в условии. Значит, построенный треугольник – искомый.

Что касается исследования, то единственное ограничение на углы: сумма данных углов  (иначе треугольник не будет существовать, так как сумма его углов будет больше ).

Задача 2

Дано: построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.

Построить .

Решение: предположим, что такой треугольник построен. Нам нужно как-то использовать данную в условии сумму длин катета и гипотенузы. Поступим так же, как и в прошлой задаче, отложим гипотенузу  на продолжении катета . Получаем  (Рис. 7).

Чтобы из полученного треугольника  получить искомый, достаточно найти точку . И тут нам снова поможет серединный перпендикуляр  к стороне .

Построение:

1. ,

2.   – серединный перпендикуляр к  (Рис. 8).

Построенный нами треугольник отвечает условиям задачи. Один из углов треугольника прямой, один из его катетов равен данному, а сумма второго катета и гипотенузы равна данной в условии.

Заключение

Мы посмотрели задачи на построение. Выяснили, что существует четыре этапа, которые помогают нам решить любую задачу, а именно:

1. анализ,

2. построение,

3. доказательство,

4. исследование.

Также в решении задач нам помогали опорные факты. Мы пользовались следующими опорными фактами.

1. Свойство серединного перпендикуляра (все его точки равноудалены от концов отрезка).

2. Свойство точек биссектрисы (все её точки равноудалены от сторон угла).

3. Теорема о внешнем угле треугольника (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним).

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «davay5.com» (Источник).

Домашнее задание

1. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

2. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

3. Даны отрезки ,  и . Постройте треугольник  так, чтобы , , , где  – высота треугольника.