09. Практика. Решение задач. Подобие треугольников

Теорема Фалеса

На прошлом занятии мы рассмотрели теорему Фалеса. Она является очень удобным инструментом для деления отрезков в нужном соотношении. Напомним ее суть. 

Пусть дан угол, а несколько параллельных прямых  пересекают обе его стороны, отсекают отрезки на обеих сторонах угла (см. рис. 1). Тогда как относятся длины отрезков на одной стороне угла, так же они относятся и на другой:

Частный случай этой теоремы, которым мы будем пользоваться: если отрезки на одной стороне угла равны друг другу, то и на второй стороне угла параллельные прямые отсекают равные между собой отрезки:

Задача 1. Разделить данный отрезок на  равных частей (см. рис. 2).

Решение

Пусть дан отрезок , который и нужно разделить на  частей. Для теоремы Фалеса нам нужен угол.

Достроим наш отрезок до угла с вершиной в точке . На дорисованной стороне угла отметим  точек на равных расстояниях (см. рис. 3).

Соединим последнюю точку с точкой . Параллельно полученному отрезку проведем через оставшиеся  точки еще  прямые (см. рис. 4).

Т. к. параллельные прямые на одной стороне угла отсекают равные отрезки, то на другой они тоже отсекут равные отрезки (теорема Фалеса). Т. е. мы разделили отрезок  на  равных частей (см. рис. 5).

Решено.

Первый признак подобия треугольников

Мы обсудили понятие подобных фигур и, в частности, подобных треугольников.

Признаки равенства треугольников достаточно легко преобразовались в признаки подобия (правда немного изменилась нумерация признаков). Решим задачи с применением этих признаков.

Первый признак подобия: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Задача 2. Доказать, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Доказательство

Вот треугольник , у которого  (см. рис. 6):

Как у любого треугольника, у него три высоты. О какой же высоте идет речь в условии задачи?

Вспомним: высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно противолежащей стороне.

Если опускать такие перпендикуляры из вершин  и , то они совпадут со сторонами  и . Иными словами: две высоты прямоугольного треугольника – это его катеты. Но стороны треугольника не делят треугольник на другие треугольники. Значит, речь идет о третьей высоте, опущенной из точки  на гипотенузу (высота ) (см. рис. 7).

Нам предлагается доказать, что два новых (малых) треугольника подобны исходному (и заодно подобны между собой). Попробуем убедиться, что так оно и есть.

Сравним исходный треугольник , например, с треугольником , который тоже прямоугольный, т. к.  –  высота. Т. е. по одному равному прямому углу у этих треугольников уже есть. Но у обоих треугольников есть также общий . Это вторая пара равных углов, т. е. два угла одного равны двум углам другого. Тогда треугольники  и  подобны по первому признаку подобия:

В частности:

Аналогично показывается подобие треугольников  и , т. е. каждый малый треугольник подобен большому исходному.

В частности:

Из этого очевидно следует, что два малых треугольника также подобны друг другу:

Доказано.

Второй признак подобия треугольников

Вспомним второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны.

Задача 3. На одной стороне угла  отложены отрезки  и . На другой стороне  и . Подобны ли треугольники  и  (см. рис. 8)?

Решение

По второму признаку подобия треугольники в самом деле подобны:

А угол  является общим для двух треугольников и лежит между пропорциональными сторонами:

Ответ: да.

Третий признак подобия треугольников

Наконец, вспомним третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Задача 4. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1.   и ;

2.  и ;

3.  и .

Решение

Требуемое соотношение выполняется, треугольники подобны. Коэффициент подобия  или .

На первый взгляд, соотношение не выполняется. Но дело в том, что длины сторон треугольников могут быть даны не в том порядке. Для удобства расположим их в порядке возрастания (меньшая сторона одного треугольника должна быть пропорциональна меньшей стороне второго треугольника и т. д.):  и :

Требуемое соотношение выполняется, треугольники подобны. Коэффициент подобия  или .

3. Расположим сразу длины сторон в порядке возрастания:  и .

Пропорциональны только две пары сторон, а не все три. Треугольники не являются подобными.

Ответ: да; да; нет.

Свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрим теперь решение различных задач с использованием теоремы Фалеса и подобия треугольников.

Задача 5. Доказать, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство 

Что имеется в виду в условии? Рассмотрим треугольник  и его биссектрису  (см. рис. 9).

Она делит сторону  на две части. Нетрудно увидеть, что чем больше  относительно , тем больше  относительно . Но на самом деле, все обстоит еще лучше.

Во сколько раз сторона  больше стороны , во столько раз  больше :

Это нам и нужно доказать.

То, что нужно будет доказывать равенство отношений отрезков, наводит на мысль об использовании теоремы Фалеса. Но если  и  лежат на одной прямой, то  и  – нет. В такой ситуации хорошо бы расположить сравниваемые отрезки на сторонах угла. Попробуем это сделать.

Продолжим  за точку . И отложим на ней отрезок  (см. рис. 10). Теперь у нас на прямой  отложены отрезки с интересующими нас длинами:  и .

Соединим точку  с точкой . Рассмотрим треугольник  (см. рис. 11).

Он равнобедренный (т. к.  по построению). Значит, . Обозначим эти углы как .

Но  – внешний угол этого треугольника для треугольника , значит, он равен сумме следующих углов (по теореме о внешнем угле треугольника):

Поскольку  – биссектриса , то:

Получаем: прямые  и ,  – секущая, внутренние накрест лежащие углы  (см. рис. 12). Значит, прямые  и  параллельны по признаку параллельности прямых.

Можем воспользоваться теоремой Фалеса для  и параллельных прямых  и :

Но  (по построению), получаем:

Доказано.

Только что доказанный нами факт часто используется для решения других задач. А раз так, то его естественно называть теоремой. Часто это утверждение так и называют: теорема о биссектрисе треугольника (или свойство биссектрисы треугольника).

Теорема Архимеда

С помощью подобия и теоремы Фалеса можно получить не только свойство биссектрисы, но и свойство медианы треугольника.

Задача 6. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведем две медианы  и , пересекающиеся в точке  (см. рис. 13).

Отрезок  (соединяющий середины двух сторон треугольника) называется средней линией треугольника. Очевидно, что у треугольника три средних линии (см. рис. 14).

Рассмотрим :

Значит, по теореме, обратной теореме Фалеса,  и  параллельны (т. к. отсекают на обеих сторонах угла равные отрезки). Получили важный промежуточный факт: средняя линия треугольника параллельна его стороне.

Кроме того, треугольники  и   подобны, причем  общий;  (т. к. и  – середины сторон  и  соответственно). Значит, треугольники подобны по второму признаку (равный угол между пропорциональными сторонами).

Из этого следует, в частности, что , т. е.:

Мы получили еще один важный промежуточный факт о средней линии треугольника: она равна половине стороны, которой параллельна.

Эти два факта объединяют в одну теорему о средней линии треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Только что мы доказали эту теорему, которая окажется еще одним полезным инструментом. Но сейчас вернемся к нашей задаче о делении медиан.

Нам осталось сделать один шаг. Рассмотрим треугольники  и . У них:  (как вертикальные);  (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых  и  и секущей ). Значит, треугольники  и  подобны (по первому признаку подобия – два равных угла). Из этого следует (см. рис. 15):

Но последнее отношение равно , поэтому:

Такое же рассуждение можно провести для двух других пар медиан  и ;  и :

Получится, что любая пара медиан пересекается в точке, которая делит их в отношении . Очевидно, что такая точка для данной медианы может быть только одна:

Значит, мы доказали сразу два важных утверждения: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершины. Этот факт носит название теоремы Архимеда.

Доказано.

Более подробно о средней линии треугольника, ее свойствах, а также о свойствах биссектрис и медиан треугольника мы еще будем говорить на следующих уроках.

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные задачи с использованием теоремы Фалеса, а также подобия треугольников. Обязательно решите тесты и тренажеры к данному уроку, чтобы закрепить отработанные навыки.

Список литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В./Под ред. Садовничего В. А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ru.solverbook.com»‎.

Домашнее задание

1. В прямоугольном треугольнике стороны равны . Найти длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.

2. Отрезок  – биссектриса треугольника . Найти длину стороны , если .

3. Найти расстояние от точки  пересечения медиан  равнобедренного треугольника  до основания , если известно, что , периметр треугольника  равен .