01. Признаки параллельности прямых

Понятие «параллельность прямых», его обоснование

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .

Отрезки и , лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели и нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь и не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная прямая к прямой и перпендикулярная прямая к прямой нигде не пересекаются (Рис. 2).

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

.

Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы

Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые и  рассекаются прямой (Рис. 3).

– секущая и . Это означает, что она пересекает и , и .

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы называются:

- накрест лежащие углы: и , и ;

- односторонние углы: и , и ;

- соответственные углы: и , и , и , и .

и  – смежные углы.

и  – вертикальные углы.

Признаки параллельности прямыx

Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Итак, даны две прямые и . Прямая рассекает эти прямые и  (Рис. 4).

Докажем, что .

Доказательство:

Возьмем середину отрезка – точку – и опустим перпендикуляр на прямую . Получим точку . Получим отрезок . Отложим от точки по прямой отрезок, равный длине отрезка . Получим точку , причем .

Имеем два треугольника  и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними):  (по условию), (по построению), (по построению).

Из равенства треугольников следует, что . А значит,  – это продолжение , то есть точки , и  лежат на одной прямой.

Также . Значит, прямая  перпендикулярна к прямой .

Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.

Второй признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Имеем: , , – прямые; – секущая, .

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Третий признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Имеем: , , – прямые; – секущая,  (Рис. 7).

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Решение задач

Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.

Рассмотрим пример:

, , – прямые; – секущая, ,  (Рис. 8)

Сведем к одному из признаков параллельности прямых.

Следовательно, . По третьему признаку параллельности прямых .

На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «shkolo.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Нарисуйте произвольный треугольник . Отметьте точку на стороне . Через точку проведите прямые, параллельные двум другим сторонам.

2. Прямая пересекает прямую в точке , а прямую в точке . , . Параллельны ли прямые и ?

3. В треугольнике – биссектриса. Точка  принадлежит . Точка – середина стороны . Доказать, что .