06. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен ).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Доказательство:

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

.

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (), то равенство другой пары углов () доказывается следующим образом:

.

Поскольку ( по условию), , . Поэтому треугольники и равны по второму признаку.

Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Доказательство:

Совместим наложением треугольники и . Предположим, что вершины и , а также и совместились наложением, а вершина и точка не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник (по определению – по условию ). Поэтому по свойству, . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен . Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, является внешним углом для треугольника и равен сумме . Таким образом, (что является острым углом в прямоугольном треугольнике ) не может быть равен углу , ведь данный угол – тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек и оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники и совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Справочный портал «calc.ru» (Источник).

2. Учительский портал (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что .

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен . Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.