05. Прямоугольный треугольник и его свойства

Повторение определения, первое свойство прямоугольного треугольника

Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (равен ). Прямоугольный треугольник является частным случаем обыкновенного треугольника, имеет один (и только один) угол .

На рис. 1 изображён прямоугольный треугольник . . Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна . Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна . Обозначим острые углы , . Вследствие того, что , а , следует, что .

Стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами. А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рис. 1 ,  – катеты,  – гипотенуза.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1. Сумма острых углов треугольника равна . Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше  (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит . Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника. Гипотенуза больше катета.

Свойство 2. , .

Свойство 3 связано с наличием угла . На рис. 2 дан прямоугольный треугольник . Угол  равен . Доказать, что  равна половине .

Доказательство

Выполним дополнительное построение, а именно: достроим треугольник  на стороне , равный треугольнику . Поскольку  в полученном треугольнике  является и биссектрисой, и высотой, то треугольник  – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по  (), то треугольник  – равносторонний.

Поскольку треугольник  – равнобедренный, то . Если  – медиана и высота треугольника , то . Поскольку , то . Что и требовалось доказать.

Свойство 3. Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник неразрывно связан с понятием «расстояние от точки к прямой». Расстоянием от точи до прямой называется длина наименьшего отрезка, соединяющего данную точку и прямую.

Наименьшим отрезком от точки до прямой является длина перпендикуляра , остальные наклонные (, ) будут больше. Таким образом, .

Признаки равенства треугольников

В данный момент рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников.

Вспомним первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Проиллюстрируем данный случай.

Данный признак является переформулировкой первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.

.

Второй признак равенства прямоугольных треугольников звучит так: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Данный признак является следствием из второго признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам:

.

Рассмотрим случай равенства соответствующих катетов и противолежащих к ним углов в двух треугольниках: , .

Равенство  осуществляется, потому что , , но углы  (по условию), а поскольку сумма углов  и ,  фиксирована, то .

Третий признак равенства прямоугольных треугольников звучит так: если в двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и соответствующие острые углы, такие треугольники равны.

Данные треугольники равны, если .

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (), то равенство другой пары углов () доказывается следующим образом:

.

Поскольку  ( по условию), , . Поэтому треугольники  и  равны по второму признаку.

Особый признак равенства треугольников

Рассмотрим особый признак равенства прямоугольных треугольников. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, треугольники равны.

Данный признак не имеет аналогов у обыкновенных признаков равенства треугольников.

.

Специфика данного признака заключается в т.н. наибольшем угле прямоугольных треугольников – . Сформулируем признак равенства произвольных треугольников – по двум сторонам и наибольшему углу треугольников. Угол  необязательно должен лежать между сторонами  и . Главное условие в данном признаке – угол  – наибольший.

Если две стороны одного треугольника и наибольший угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и наибольшему углу другого треугольника, такие треугольники равны.

В заключение отметим, что все признаки равенства произвольных треугольников являются действительными для прямоугольных треугольников.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «resolventa.ru‎» (Источник).

Домашнее задание

1. № 45, 46 Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

2. Исходя из данных рисунка, назовите равные треугольники и докажите эти равенства. Учитывайте, что .

3. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как . Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла.

4. На основании равнобедренного прямоугольного треугольника  взяли точку , равноудалённую от боковых сторон. Докажите, что  – высота треугольника.