08. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между двумя точками

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки и . Расстоянием между двумя точками и является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок .

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние – это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки и .

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая , и точка , не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки до прямой будет длина перпендикуляра .

Важно заметить, что – кратчайшее расстояние, так как в треугольнике данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку и прямую (в данном случае – это ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы.

Обозначение расстояния: .

Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим параллельные прямые и , изображённые на рисунке 3

Зафиксируем две точки на прямой  и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую . Докажем, что если , .

Проведём отрезок для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники и . Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников (, ) сторона – общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы и являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых и и секущей . По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что  .

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки и равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом, .

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1

Пример 1: Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор -  Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике проведена биссектриса . Расстояние от точки до прямой равно 6 см. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть – по 600). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть .

Поскольку расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , то – данное расстояние. Рассмотрим треугольник . В нём угол , так как – перпендикуляр к (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет лежит против угла , поэтому  (см) (По свойству).

Расстояние от точки до прямой – это длина опущенного на прямую перпендикуляра. По доказанному , значит, .

Ответ: .

Пример 2

Пример 2: Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор -  Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми и равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми и равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Решение:

Поскольку , , то .

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

В данном случае .

Ответ: 2 см, 8 см.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Репетитор по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,       Юдина  И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Сумма гипотенузы и катета прямоугольного треугольника равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины до прямой .

3. На основании равнобедренного треугольника взята точка , равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что – высота треугольника .

4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.