11. Решение более сложных задач

Повторение начальных геометрических сведений

Вспомним сведения, изученные в текущей теме:

- Аксиома. Через две точки можно провести прямую, и только одну.

- Прямые на плоскости могут пересекаться.

- Пересекающиеся прямые задают два типа углов – смежные и вертикальные.

- Теорема о сумме смежных углов. Сумма смежных углов .

- Вертикальные углы равны. Если хотя бы один из вертикальных углов , прямые перпендикулярны.

- Прямые, перпендикулярные другой прямой, не имеют общих точек.

- Прямые могут не иметь общих точек.

- Прямые могут совпадать и иметь бесконечное множество общих точек.

Аксиома гласит, что через две точки (разные точки, которые не совпадают друг с другом) можно провести прямую, и только одну. 

Прямые на плоскости могут иметь три варианта расположения. Они могут пересекаться. В таком случае образуются смежные и вертикальные углы.

На рисунке 2 изображены 4 пары смежных углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.

Известно, что сумма смежных углов .

Также на рисунке изображены вертикальные углы: 1 и 3, 2 и 4. Вертикальные углы равны между собой. 

Второй случай расположения прямых – прямые не имеют общих точек. В данной теме мы рассматривали этот факт в следующем контексте: прямые, перпендикулярные другой прямой, не имеют общих точек, что изображено на рисунке 3.

Третий случай расположения прямых – они совпадают. Таким образом, они имеют бесконечное множество общих точек. По сути, это одна и та же прямая.

Вспомним определение смежных углов. Данные углы имеют общую сторону, а две другие являются продолжением другой. Вертикальные углы являются таковыми, если стороны одного угла являются продолжениями сторон для другого. Вертикальные углы равны.

Частный случай смежных и вертикальных углов – все подобные углы равны . В таком случае прямые, образующие эти прямые, называются перпендикулярными.

Пример 1

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1: Три прямые пересекаются в одной точке. Найдите сумму углов и  .

Решение:

как вертикальные. Следовательно, , так как они образуют развернутый угол. как вертикальные, поэтому .

Ответ: .

Пример 2

Пример 2: При пересечении двух прямых образовались два угла, один из которых на больше другого. Найдите эти углы.

Решение:        

Исходя из того, что сумма углов и равна , как смежных, а угол на больше, чем , составим и решим систему уравнений:

Ответ: Данные углы равны

Пример 3

Пример 3: Из точки проведены лучи и , причем . Угол, образованный биссектрисами углов и , равен . Найдите углы и .

Решение:

Пусть угол , тогда угол  (так как – биссектриса). Аналогично , тогда угол . Получается, что . Отсюда .

.

. .

Ответ: .

Пример 4

Пример 4:  Из точки проведены лучи и , причем . Лучи и – биссектрисы углов и . Доказать, что .

Решение:

Обозначим угол .  ( – биссектриса). . . ⇒ .

Доказано.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru».

2. Интернет-портал «kaknauchit.ru».

Рекомендованное домашнее задание

1. № 13, 17. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолова В. В. Геометрия 7 / В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолова, под ред. Садовничего В. А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. В результате пересечения двух прямых образовалось 4 угла, каждый из которых меньше развернутого. Найдите эти углы, если их градусные меры относятся как 5:1.

3. Правильно ли утверждать, что перпендикуляром к прямой называется любой отрезок, перпендикулярный данной?

4. * Один из смежных углов в два раза больше разности между ними. Определите эти углы.