03. Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников»

Повторение первого признака равенства треугольников

Вспомним предварительно формулировку первого признака равенства треугольников.

Определение: Первый признак равенства треугольников – это равенство их по углу и прилежащим сторонам.

Из этих трех равенств и вытекает равенство самих треугольников.

Смысл равенства треугольников заключается в том, что при совмещении этих трех элементов гарантируется совмещение, то есть равенство всех остальных элементов двух треугольников.

Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Измерить на местности расстояние между двумя точками и , между которыми нельзя пройти по прямой. Для этого выбирают такую точку , из которой можно пройти и к точке , и к точке , и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния и , продолжают их за точку и отмеряют . Тогда отрезок равен искомому расстоянию. Объясните, почему.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Продлим отрезки и . Отмеряем и . по первому признаку.

.

Из равенства треугольников следует, что .

Ответ: Задача решена.

Пример 2: Через середину отрезка проведена прямая р, перпендикулярная прямой . Докажите, что каждая точка этой прямой одинаково удалена от точек и (каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов).

Решение:

Рассмотрим треугольники и . – по первому признаку.

Из равенства треугольников следует, что для любой произвольной точки , которая принадлежит прямой .

Ответ: Доказано.

Пример 3: На стороне треугольника взята точка , а на стороне треугольника  взята точка . Известно, что треугольники и  равны и отрезки и  равны. Докажите равенство треугольников и .

Решение:

Рассмотрим треугольники и . В них .  (поскольку треугольники и  равны по условию). В нашем случае для доказательства необходимо лишь, чтобы  . Докажем, что это действительно так.

 из равенства треугольников.  по условию. Отсюда следует, что .  и прилежащие к ним стороны тоже равны у двух треугольников, значит, .

Ответ: Доказано.

Пример 4: На сторонах и  равных треугольников и  взяты соответственно точки и , причем . Доказать, что .

Решение:

Из равенства треугольников и  следует, что , , . Для доказательства того, что , у нас есть уже два необходимых элемента, это равенство углов  и равенство сторон , значит, нам необходимо доказать, что .                                                        

Треугольники  по первому признаку. А значит, .

Ответ: Доказано.

Пример 5: На сторонах угла отмечены точки и так, что точка лежит на отрезке , а точка – на отрезке , причем и . Докажите, что .

Решение:

Обозначим  как  и как . Доказать, что , – это то же самое, что доказать равенство смежных с ними углов и . по первому признаку, поскольку у них общий, и . , так как они лежат напротив равных сторон и соответственно. Мы доказали равенство смежных углов, а значит, и доказали равенство искомых. .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели несколько примеров на первый признак равенства треугольника. На следующем уроке мы познакомимся с перпендикуляром, проведенным к прямой.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «kaknauchit.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №35 (д). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Постройте треугольник по заданному углу и двум прилежащим к нему сторонам.

3. Докажите по первому признаку равенства треугольников, что диагональ квадрата делит его на 2 равных треугольника.