03. Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых»

Повторение

Определение:

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 1). Обозначается это так: .

Отрезки .

Теорема:

Две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся  (Рис. 2).

.

Эта теорема доказывает существование параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых.

и  – прямые, – секущая.

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:

- накрест лежащие углы:  и , и ;

- односторонние углы:  и , и ;

- соответственные углы:  и , и , и , и .

Если при пересечении прямых и секущей пара каких-либо накрест лежащих углов равна, то прямые и параллельны. Если пара соответственных углов равна, то прямые параллельны. Если пара односторонних углов в сумме составляет , то прямые параллельны.

.

Таким образом, из соотношений между углами вытекает или не вытекает параллельность прямых.

Задача 1

Задача 1:

По данным рисунка 4 докажите, что .

Доказательство:

1.  (из того, что - равнобедренный).

2. .

3. – секущая.

Тогда . Следовательно, по первому признаку, , что и требовалось доказать.

Задача 2

Задача 2:

Используя рисунок 5, докажите, что .

Дано:

1.

2.

Доказать:

Доказательство:

 – равнобедренный. Тогда углы при основании равны, значит, .

 (по условию).

Тогда . А эти углы – накрест лежащие при прямых и и секущей . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Задача 3

Задача 3:

В треугольнике дано: , , , . Доказать, что  (Рис. 6).

Доказательство:

Будем использовать то, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Треугольники и – равнобедренные. Будем это использовать.

1. .

2. .

3. .

1. (Рис. 7).

Тогда  (по первому признаку), что и требовалось доказать.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямая пересекает прямую в точке , а прямую в точке . Параллельны ли прямые и , если и ?

2. Прямая пересекает прямую в точке , а прямую в точке так, что точки и лежат по одну сторону от прямой . Параллельны ли прямые и , если и ?

3. Через концы отрезка с одной стороны от него проведены лучи и . Параллельны ли эти лучи, если:

и .

и .