08. Смежные и вертикальные углы

Понятие «смежные углы», сумма смежных углов

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол и луч , который делит данный угол на 2 угла.

Рассмотрим углы и . Вполне очевидно, что они имеют общую сторону , а стороны и являются противолежащими. Лучи и дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы и являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Теорема 1: Сумма смежных углов – .

. Данное утверждение является верным, так как луч делит развернутый угол на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму – .

Вертикальные углы

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых и  в точке .

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: и , а также и .

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол . Рассмотрим развернутый угол .

Из этих соображений мы делаем вывод, что . Аналогично, .

Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен .

Поскольку – биссектриса угла , то угол , аналогично  . . Сумма углов α + β равна 180о, поскольку данные углы – смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен .

– биссектриса – биссектриса . Очевидно, что . Сумма углов равна , так как данные углы – смежные.

Задачи

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1:

Найдите угол, смежный с , если .

Решение:

Выполним чертеж к задаче:

Решение

Поскольку и смежные углы, то . То есть .

Значит, .

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Пример 2:

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Решение:

Если один из углов прямой, а сумма двух углов , то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Пример 3:

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Решение:

Составим уравнение: , но поскольку , то , значит, .

Ответ: Да, утверждение верно.

Пример 4:

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Решение:

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут . То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «shkolo.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «kaknauchit.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.

2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.

3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?

4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?