04. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Определение, аксиома параллельности прямых

Прежде всего мы вспомним материал предыдущего урока. Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек, параллельные прямые не пересекаются.

Аксиома: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, притом только одну.

При решении задач необходимо пользоваться свойствами некоторых углов при параллельных прямых и секущей.

Углы ,  являются соответствующими, равно как и пары углов , ; ,  и т.д.

Углы ,  называются внутренними накрест лежащими, равно как и пара углов , .

Углы ,  являются внутренними односторонними, равно как и , .

Сумма углов треугольника, виды треугольников

Рассмотрим важную теорему.       

Теорема: сумма углов треугольника составляет .

Доказательство

Дополнительное построение: проведём прямую , параллельную  и проходящую через точку . Рассмотрим углы при параллельных прямых  и секущей .  как внутренние накрест лежащие. . Углы , ,  в сумме составляют развёрнутый угол. Как известно, развёрнутый угол составляет . Поэтому . Что и требовалось доказать.

В зависимости от градусных мер углов треугольника различают такие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

На рисунке 5а изображён остроугольный треугольник, ведь все три угла данного треугольника меньше . На рисунке 5б изображён прямоугольный треугольник, ведь один из его углов – прямой, равен . На рисунке 5в изображён тупоугольный треугольник, так как один из его углов больше . Заметим, что в треугольнике не может быть двух углов больше или равных .

Неравенство треугольника

Рассмотрим понятие «неравенство треугольника». В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.

Пусть  – наибольшая сторона треугольника , тогда . Тем не менее, любая сторона больше разности двух других: .

Теорема о внешнем угле треугольника, связи между углами и сторонами треугольника

В данный момент рассмотрим понятие «внешний угол» треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Таким образом, на рисунке рассмотрен внешний угол при вершине . Теорема гласит о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним.

Доказательство очень простое. Поскольку углы  и  – смежные, то . С другой стороны,  как углы треугольника. Отсюда следует, что . Выполним подстановку и получим, что . Следовательно, теорема доказана.

Опишем теперь взаимоотношения между сторонами треугольника. Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла – бóльшая сторона.

Если , то . Но не стоит забывать, что в случае равенства двух углов следует равенство двух сторон. Этим можно пользоваться, применяя признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, треугольник равнобедренный по признаку.

В прямоугольном треугольнике также действует данное правило.

Поскольку , то другие углы треугольника точно не равны , они меньше . Следовательно, , . В прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Пример 1

Теперь решим задачу №238 из учебника «Геометрия 7–9» Атанасяна Л.С.

Пример 1. На основании  равнобедренного треугольника  произвольно взяли точку . Докажите, что  меньше боковой стороны треугольника.

Решение

Выполним пояснительный рисунок и выполним некоторые обозначения: , .

Запишем, что  как внешний угол треугольника . Следовательно, , а значит,  (в равнобедренном треугольнике углы при основании равны). В треугольнике  против большей стороны лежит больший угол, поскольку , то противолежащие стороны имеют такое же соотношение: . Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы вспомнили, как связаны стороны и углы треугольника.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «scienceland.info» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 236, 237. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. под ред. Тихонова А.Н. Геометрия 7–9 классы. М.: Просвещение. 2010.

2. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен  см, а разность двух других сторон равна  см. Один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника.

4. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен  см, а одна из сторон равна  см. Найдите две другие стороны треугольника.