05. Сравнение отрезков и углов

Введение

В реальной жизни мы умеем сравнивать количества. Например, мы понимаем, что 7 больше, чем 5. Семь яблок – это больше, чем 5 яблок.

И понимаем важный принцип: часть меньше целого. Но наша задача – сравнение отрезков, углов, геометрических фигур. Где же в геометрических фигурах часть, а где целое?

Равенство геометрических фигур

Начнем с важного определения равенства геометрических фигур, ведь отрезок, угол – это геометрическая фигура.

Фигура 1 равна фигуре 2, если их можно совместить наложением: .

Например, два листа бумаги можно наложить друг на друга, и они неразличимы. Две одинаковые монеты и т.д.

Сравнение отрезков

Отрезок – это часть прямой. Давайте попробуем совместить отрезки  и .

При совмещении возможно 3 случая.

- Точка  совместилась с точкой , и вторые концы  и  тоже совместились. Тогда отрезок  и  совместились, и в этом случае - То есть если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки (см. рис. 1).

-   – часть отрезка , значит,  (см. рис. 2).

- Отрезок  – это часть отрезка , значит,  (см. рис. 3).

Сравнивать способом наложения не всегда удобно, ведь отрезки могут быть очень длинными либо же очень малыми, тогда сравнение неудобно. На помощь приходит сравнение их длин.

Длина отрезка

Каждому отрезку соответствует его длина. Длина – положительное число, являющееся результатом сравнения с эталоном. Например, с помощью линейки можно установить, какая длина у данного отрезка, сколько он составляет миллиметров, сколько сантиметров и т.д. При этом мы считаем, что каждой длине найдется свой отрезок. И еще раз подчеркнем, что если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки.

Итак, наложение мы заменяем сравнением длин. Это наглядно видно на координатном луче.

Есть координатный луч (см. рис. 4). Каждой точке соответствует число, координата – расстояние до нуля.

Дана точка  с координатой 0, точка  с координатой 5 и точка  с координатой 7.

Наложение здесь не требуется, мы сравниваем длины. И замечаем, что отрезок .

Если равны длины отрезков, то равны и отрезки. И наоборот, если равны отрезки, то равны и их длины.

Середина отрезка

Напомним важное понятие – середина отрезка.

Дан отрезок , точка  – середина отрезка, если она делит его пополам. Т.е.  (см. рис. 5).

Сравнение углов

Рассмотрим совмещение углов.

Угол , угол . Возможны три случая:

- два угла полностью совместились. Т.е. точки  и  совместились, луч  пошел по лучу , а  пошел по лучу . Если есть такое совмещение, значит, . Фигуры при наложении совместились, значит, они равны по определению (см. рис. 6).

- угол  меньше, чем угол . Это часть большего угла, значит, угол  (см. рис. 7).

- Угол  больше, чем угол . Второй угол является частью первого. Значит, угол  (см. рис. 8).

Рассмотрим частый случай. Один из углов  – развернутый, а второй угол . Неразвернутый угол всегда меньше развернутого.  (см. рис. 9).

Биссектриса угла

Рассмотрим понятие биссектрисы угла. Есть угол . Проведем луч  таким образом, чтобы полученные углы оказались равными, т.е. . В случае луч  – биссектриса (см. рис. 10).

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины, который делит угол пополам.

Обзор некоторых аксиом

В геометрии даже самые понятные действия регламентированы аксиомами. Полный список аксиом мы, следуя учебнику, здесь не приводим, но результаты используем.

Например:

1. На луче  можно отложить единственный отрезок, равный данному отрезку , от точки . Совместим точки  и , на отрезке  поставим точку , с которой совместим точку . Тогда  (см. рис. 11).

2. Есть луч  и заданный угол , от луча  в верхней полуплоскости можно отложить единственный угол, равный заданному  (см. рис. 12).

3. Прямая  рассекает плоскость на две полуплоскости, обладающими важными свойствами:

-  если две точки находятся в разных полуплоскостях, то прямая  имеет общую точку с прямой , единственную точку , которая принадлежит и прямой , и прямой : . Причем точка

 находится между точками  и , значит,  (см. рис. 13).

- если две точки находятся в одной полуплоскости, то отрезок  не имеет общей точки с прямой  (см. рис. 14).

Формулировку аксиом мы, следуя учебникам, приводим, если они нужны в процессе доказательства. Еще раз подчеркнем: фундаментом геометрии являются: во-первых, неопределимые понятия, такие как точка, прямая; во-вторых, аксиомы (то есть истины), которые не требуют доказательств. Именно аксиомы описывают свойства точек, прямых и их взаимное расположение. Все остальное доказывается. Рекомендуем заглянуть в конец учебника, прочесть список всех аксиом и убедиться, что в геометрии бывает не только та геометрия, которую мы будем изучать, она называется Евклидова, но и геометрия Лобачевского. Все это вы найдете, заглянув в конец учебника.

Перейдем к задачам по теме.

Задание 1

На луче с началом  отмечены точки ,  и  так, что точка лежит между точками  и , а точка  – между точками  и  (см. рис. 15).

Сравните отрезки  и ,  и ,  и .

Решение

Ответ: , ,.

Задание 2

Точка  является серединой отрезка  (см. рис. 16).

Можно ли совместить наложением отрезки:

a)  и ?

b)  и ?

Решение

a)  и ? Ответ: да (т.к. )

b)  и ? Ответ: нет

Задание 3

Луч  – биссектриса угла  (см. рис. 17). Можно ли наложением совместить углы:

a)  и ?

b)   и ?

Решение

a)  и ? Ответ: да (т.к.)

b)  и ? Ответ: нет

Задача 4

Луч  делит угол  на два угла (см. рис. 18). Сравните углы  и .

Решение

Ответ: , т.к.  является частью .

Заключение

Итак, мы рассмотрели сравнение отрезков и углов, решили типовые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «nsportal.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «myshared.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Какие две геометрические фигуры можно назвать равными?

2. С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла?

3. Начертите три луча , ,  с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами, сравните углы между собой.