02. Свойства параллельных прямых

Аксиома

Определение:

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются (рис. 1). Обозначается это так: .

Аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (рис. 2).

Cледствия из аксиомы

Следствие 1:

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство:

Предположим, что прямая не пересекает прямую (рис. 4).

Тогда (по условию), (по предположению). То есть через точку проходят две прямые ( и ), параллельные прямой . А это противоречит аксиоме. Значит, наше предположение неверное. Тогда прямая пересечёт прямую .

Следствие 2:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 5).

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что прямые и пересекаются в некоторой точке (рис. 6).

Таким образом, получаем противоречие с аксиомой: через точку проходят две прямые, параллельные третьей прямой.

Следовательно, наше предположение неверно. Тогда .

Теоремы о свойствах параллельных прямых

Теорема 1 (теорема, обратная первому признаку параллельности прямых)

Если две прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (рис. 7).

Дано: ; — секущая.

Доказать: .

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что: .

Тогда от луча можно отложить единственный угол , который равен углу 2 (рис. 8).

Но тогда и — накрест лежащие и равны. Тогда прямые и — параллельны. Тогда через точку проходят две прямые, параллельные третьей. А именно:

Получаем противоречие с аксиомой. Значит, наше предположение неверно. То есть: .

Теорема доказана.

Следствие из теоремы 1.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство:

Так как прямая c перпендикулярна прямой , то она пересекает прямую , значит, пересекает параллельную ей прямую . Тогда прямая — секущая по отношению к прямым и .

, поскольку они являются накрест лежащими. Тогда . То есть .

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 (теорема, обратная второму признаку параллельности прямых)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: , — секущая.

Доказать: (рис. 10).

Доказательство:

Так как , то из предыдущей теоремы следует, что накрест лежащие углы равны. То есть .

Тогда, по свойству вертикальных углов, .

Значит, , что и требовалось доказать.

Теорема 3 (теорема, обратная третьему признаку параллельности прямых)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна .

Дано: , — секущая.

Доказать: (рис. 11).

Доказательство:

Так как , то , в силу предыдущей теоремы. Но по свойству смежных углов. Тогда , что и требовалось доказать.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. — Москва: Просвещение.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7. — Москва: Просвещение.

3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолова В. В. Геометрия 7 / Под ред. В. А. Садовничего. — Москва: Просвещение, 2010.

Полезные ссылки

1. wiki.eduVdom

Проверь себя

1. На стороне угла взята точка . Через неё проведена прямая, параллельная . Найдите меры углов при вершине , если .

2. Докажите, что если одна секущая с двумя прямыми образует равные соответственные углы, то и любая другая секущая будет образовывать с ними равные соответственные углы.

3. Если прямые образуют с секущей неравные соответственные углы, то они пересекаются. Докажите это.