01. Виды треугольников
12 мин
02. Задачи на углы треугольника
12 мин
03. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
12 мин
04. Неравенство треугольника
8 мин
05. Основные свойства прямоугольных треугольников
20 мин
06. Признаки равенства прямоугольных треугольников
27 мин
07. Уголковый отражатель. Типовые задачи
17 мин
08. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми
23 мин
09. Построение треугольника по трём элементам
16 мин
10. Построение треугольника по трём элементам. Задачи на построение (продолжение)
13 мин
11. Решение более сложных задач на построение
11 мин
12. Две задачи на построение
10 мин
13. Построение треугольника по трём элементам в более сложных случаях
15 мин
14. Построение треугольника по трём элементам. Задачи на построение
19 мин
03. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Видео доступно по абонементу
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Теорема: В треугольнике
1. Против большей стороны лежит больший угол
2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.
1. Дано:
Доказать: .
Доказательство: Отложим отрезок равный отрезку и тогда точка будет лежать между точек и . Луч рассечёт угол на два угла, при этом . ΔАСВ состоит из углов и . – внешний для треугольника , значит он больше угла .
, что и требовалось доказать.
2. Дано:
Доказать:
Доказательство: Докажем методом от противного.
, но по условию, следовательно, остается только случай, если , что и требовалось доказать.
Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.
Теорема: В треугольнике
1. Против большей стороны лежит больший угол
2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Если , то .
Если , то .
Следствие 1 из теоремы
Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Доказательство:
, . Отсюда следует, что , . Значит, , . Гипотенуза больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.
Следствие 2 из теоремы
Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Дано:
Доказать:
Доказательство: Докажем методом от противного.
, то есть . Следствие доказано.
Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.
Решение задач
Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол тупым, если .
. . Мы получили соотношение между углами: .
Пример: , тогда .
Ответ: 1) 2) может быть тупым.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.
Список рекомендованной литературы
Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Рекомендованное домашнее задание
№50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
Отрезок – медиана треугольника с прямым углом . Докажите, что .
Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах и треугольника , пересекаются в точке . Найдите угол , если угол равен .