01. Треугольники

Определение треугольника и его элементов

Определение:  Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

На данном рисунке изображен треугольник . Обозначение выглядит так: .

Точка не принадлежит отрезку . Точки называются вершинами треугольника, а отрезки называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: , или . В геометрии принято, что угол обозначается греческой буквой , а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому . Аналогично,

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Равенство треугольников

Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура и фигура называются равными, если их можно совместить наложением.

Треугольники и являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны , то и углы .

Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.

Решение задач

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1: Начертите треугольник таким, чтобы угол был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.

Решение:

Ответ: сторона лежит напротив угла , сторона лежит напротив угла , сторона лежит напротив угла .

Пример 2: Начертите треугольник таким, чтобы угол был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.

Решение:

Ответ: Угол лежит напротив стороны , угол лежит напротив стороны , угол лежит напротив стороны .

Пример 3: Начертите треугольник таким, чтобы угол был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.

Решение:

Ответ: Углы и прилежат к стороне , углы и прилежат к стороне , углы и прилежат к стороне .

Пример 4: Периметр треугольника равен см, а одна из сторон равна см. Найдите две другие стороны, если их разность равна см.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен см. Запишем это равенство: , также известно, что сторона см, а . Выразим из соотношения периметра сумму и .

. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону:  и подставим в соотношение . Получим и решим уравнение.

 Следовательно,

Ответ: см и см.

Пример 5: Сторона треугольника равна см. Сторона вдвое больше стороны , а сторона на меньше стороны . Найдите периметр треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Поскольку сторона вдвое больше стороны , то см. Далее найдем сторону , по условию она меньше стороны на см, то есть см.

Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника см.

Ответ: см.

Пример 6: Отрезок . Сравните периметры треугольников и .

Решение:

Выразим периметры соответствующих треугольников:

 Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что .

Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ), поэтому .

Ответ: .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «calc.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «kaknauchit.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1.  Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Вычислите периметр треугольника со сторонами 1 дм, 12 см и 30 мм.

3.  Запишите прилежащие и противолежащие углы к сторонам треугольника .

4.  *Периметр треугольника равен см. Сторона вдвое больше стороны , а сторона втрое больше стороны . Найдите длины сторон треугольника.