07. Уголковый отражатель. Типовые задачи

Решение первой задачи по данной теме

Начнём урок с определённой задачи:

Задача 1:

На поверхность, состоящую из двух перпендикулярно расположенных зеркал, падает луч света. Докажите, что траектория луча падения будет параллельна траектории угла отражения.

Решение:

Выполним разъяснительный рисунок к этой задаче.

Рассмотрим луч . По законам физики луч падения на поверхность равен лучу отражения от поверхности. Таким образом, . Луч падает на поверхность и отражается, переходя в луч . Следовательно, . Выразим данные углы через . Из прямоугольного треугольника исходя из суммы острых его углов имеем, что . Отсюда . Зная то, что углы , ,  образуют развёрнутый угол, то . .

Аналогично выразим угол . Рассмотрим прямые и , а также секущую . Сумма внутренних односторонних углов и  равна . Поскольку сумма внутренних односторонних углов при прямых и , а также секущей равна , то прямые и параллельные.

Что и требовалось доказать.

Решение второй задачи по данной теме

Задача 2:

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен .Найдите угол между высотой, проведённой к боковой стороне, и основанием треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Дано, что (по определению, так как треугольник – равнобедренный). Угол при вершине . .

Известно, что сумма углов треугольника равна , а также по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём сумма острых углов равна . Следовательно, . Отсюда, .

Ответ: .

Решение третьей задачи по данной теме

Задача 3:

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине равным проведена высота к боковой стороне. Найдите длину основания, если длина высоты равна 9 см.

Решение:      

Выполним рисунок к задаче.

Поскольку треугольник – равнобедренный, то, по его свойству, углы при основании равны, то есть . Поскольку сумма углов треугольника равна , найдём угол при основании .

.

Рассмотрим треугольник (, так как – высота треугольника ). В данном треугольнике имеем катет , который лежит против угла . Значит, по свойству, длина равна удвоенной длине . .

Ответ: 18 см.

Решение четвёртой задачи по этой теме

Задача 4: В прямоугольных треугольниках и углы и равны . Известно, что . Отрезки и являются биссектрисами углов и и равны между собой. Докажите, что треугольники и равны.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к данной задаче.

Докажем равенство треугольников и . В данных треугольниках известно, что , а из равенства углов и следует равенство углов и . Следовательно, прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства указанных треугольников следует, что .

Докажем равенство треугольников и . В данных треугольниках , а также углы и равны. Следовательно, треугольники и равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы рассмотрели основные теоретические сведения по теме «прямоугольный треугольник», ввели и доказали признаки равенства прямоугольных треугольников. Также мы решили несколько задач для закрепления теоретического материала.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математические этюды (Источник).

2. Подготовка к ГИА и ЕГЭ по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 44 (в, г), 45(в). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота . Определите длину отрезка , если известно, что , а угол равен .

3. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.

4. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам равна высоте этого треугольника.