09. Задачи на параллельные прямые и сумму углов треугольника

Повторение опорных фактов

Определение: прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.

Аксиома: через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Свойства параллельных прямых:

1) если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то накрест лежащие углы равны,

2) если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельные,

3) если прямые параллельные, то соответственные углы равны,

4) если соответственные углы равны, то прямые параллельные,

5) если сумма внутренних углов , то прямые параллельные.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема: сумма углов треугольника равна .

Повторим теорему о внешнем угле. Теорема: внешний угол равен сумме углов треугольника, не смежных с ним.

Решение задач

Задача 1: отрезки  и  пересекаются в точке  и делятся этой точкой пополам. Доказать параллельность  и .

Решение: выполним пояснительный рисунок.

Треугольники  и  равны по первому признаку равенства треугольников.  и  по условию.  как вертикальные. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих элементов.  (накрест лежащие углы). Следовательно, прямые  и  параллельные. , что и требовалось доказать.

Задача 2: две параллельные прямые рассечены третьей прямой. Образуются углы  и . Проведены биссектрисы  и . Найти угол .

Решение: выполним пояснительный рисунок.

. Сумма двух углов в треугольнике нам известна. .

Ответ: .

Задача 3: доказать, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен половине разности двух других углов.

Дано: .  – биссектриса. .

Доказать: .

Решение: Выполним пояснительный рисунок.

Поскольку  – биссектриса, то . Из треугольника . Если , то , поскольку сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . . Но угол  следует выразить лишь через углы  и . . . , что и требовалось доказать.

В любом треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен половине разности двух других углов.

Задача 4: дан треугольник . Проведена медиана . . Определить вид треугольника.

Решение: выполним пояснительный рисунок.

Свойство равнобедренного треугольника гласит, что против равных сторон лежат равные углы. Сумма всех углов треугольника равна . . . . Значит, треугольник  – прямоугольный.

Ответ:  – прямоугольный.

Задача 5: в треугольнике  . Проведены биссектрисы  и . Найти углы между прямыми  и .

Дано: ,  и  – биссектрисы.

Решение: выполним пояснительный рисунок.

Из треугольника  .

.

.

.

.

Ответ: .

Задача 6: дана произвольная пятиконечная звезда. При вершинах звезды обозначены углы , , , , . Требуется найти .

Решение:

На данном рисунке обозначенный угол равен .

На рисунке, указанном выше, обозначенный угол равен . Рассмотрим верхний маленький треугольник. В нем , что по теореме о сумме углов треугольника равно . Значит, .

Ответ: .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели тему параллельности прямых, две важнейшие теоремы: о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника. Далее рассмотрели типовые задачи, которые решаются с помощью этих опорных фактов. На следующем уроке мы будем решать задачи на прямоугольный треугольник.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Домашнее задание

1. №54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

2. Прямые  и  перпендикулярны к прямой . Прямая  пересекает прямую . Пересекает ли прямая  прямую ?

3. Найдите углы треугольника, если два из них относятся как , а третий равен их полусумме.

4. В равнобедренном треугольнике  на основании  обозначена точка , а на боковой стороне  – точка . Известно, что отрезки  и  равны. Докажите, что .