04. Задачи на признаки параллельности двух прямых

Повторение

Признаки параллельности прямых.

и  – прямые, – секущая.

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:

- смежные углы:и , и , и , и  и т.д. (сумма смежных углов равна );

- вертикальные углы:и , и , и , и  (вертикальные углы равны);

- накрест лежащие углы:и ,и ;

- односторонние углы:и , и

- соответственные углы:и , и , и , и .

Основные теоремы о параллельности прямых:

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то соответственные углы равны.

Если сумма внутренних углов равна , то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то сумма внутренних углов равна .

Рассмотрим некоторые типовые задачи на признаки параллельности прямых.

Задача 1

Задача 1:

Отрезки и  пересекаются в их общей середине. Докажите, что .

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство:

Тогда, по первому признаку равенства треугольников, .

Тогда .

Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых и и секущей , то по первому признаку параллельности прямых , что и требовалось доказать.

Задача 2

Задача 2:

На рисунке , угол в раза больше угла . Докажите, что .

Дано:,.

Доказать:.

Доказательство:

1.;

2.(как вертикальные);

 (как вертикальные);

3..

Тогда, поскольку сумма внутренних углов равна, то по третьему признаку параллельности прямых, что и требовалось доказать.

Задача 3

Задача 3:

Дано:.

Доказать:,.

Доказательство:

На рисунке видно, что – общая сторона.

Из равенства треугольников следует, что ,.

Тогда ,,.

и  – являются накрест лежащими углами прямых и и секущей .

Тогда по первому признаку параллельности прямых .

и  – являются накрест лежащими углами прямых и и секущей .

Тогда по первому признаку параллельности прямых .

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямая пересекает прямую в точке , а прямую в точке . Параллельны ли прямые и , если и ?

2. Прямая пересекает прямую в точке , а прямую в точке так, что точки и лежат по одну сторону от прямой . Параллельны ли прямые и , если и ?

3. Через концы отрезка с одной стороны от него проведены лучи и . Параллельны ли эти лучи, если:

и ;

и ?