08. Задачи на признаки равенства треугольников

Задачи на признаки равенства треугольников. Признаки равенства треугольников играют большую роль в геометрии. Мы изучали три признака равенства углов. Напомним их: это по двум сторонам и углу между ними – первый признак равенства. По стороне и двум прилежащим углам – второй признак. И третий признак – по трем сторонам. Суть этих признаков заключается в том, что если признак выполнен, т.е. если, например, три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это означает, что треугольники можно наложить, совместить и наложить друг на друга. При этом все соответственные элементы будут равны, т.е. по небольшой информации о треугольниках мы получаем много информации об этих треугольниках. Так вот, какие задачи можно решать с помощью признаков равенства треугольников. Это многочисленный класс задач. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1

Рисунок

Даны два отрезка и . Они пересекаются в точке и делятся точкой пополам, т.е. ; .

Дано: ; . Доказать, что имеем равные треугольники. Какие? Что

1) .

2) Найти: и . Вот этот требуется найти уголочек и вот этот требуется найти уголочек, если , а .

Итак, суть задачи заключается в том, что есть два отрезка, они пересекаются. Точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что образовалось два равных треугольника. Некоторые элементы в одном треугольнике известны, и найти соответственные элементы в другом треугольнике.

Решение: Почему треугольники равны? Во-первых, первая сторона первого треугольника равна одной стороне другого треугольника по условию. Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, и угол между ними, углы между ними тоже равны. Почему? Как вертикальные. Итак, мы заключаем, что по двум сторонам и углу между ними. Иногда кратко пишут по первому признаку равенства треугольников. Первое мы доказали: треугольники равны. Значит, равны все их соответственные элементы.

Соответственные, например, все стороны, которые лежат против равных углов. Против равных треугольников, против равных углов лежат равные стороны и наоборот. Вот нам сказано, нужно найти и . Угол и у первого треугольника. А у второго треугольника и . Если , он лежит против стороны . Во втором треугольнике против равной ей стороны лежит тоже такой же равный угол. Значит, . Значит, отсюда следует, что . Первый угол нашли. Второй угол, угол , сейчас надо найти. лежит против стороны . , а против лежит . Значит, .

Итак, нужные углы мы тоже нашли:

Мы доказали равенство треугольников и равенство соответственных углов. Использовали первый признак равенства треугольников.

Рассмотрим задачу на второй признак равенства треугольников. Доказать, что в равных треугольниках биссектрисы проведенные к соответственно равным сторонам равны.

Задача 2

Рисунок

Вот и равный ему . Если в прошлой задаче нам нужно было доказать равенство треугольников, то здесь просто говорится: эти треугольники равны. Это означает, что все их углы равны и все соответственные стороны равны. Что требуется найти? Требуется доказать, что… здесь я проведу биссектрису первого угла и биссектрису второго угла, то эти биссектрисы равны.

Дано: . , – биссектрисы своих углов. Доказать: . Это следует ожидать, потому что из равенства треугольников следует, что их можно совместить, если соответственные элементы будут равны друг другу. Надо доказать, что биссектрисы являются соответственными элементами и равны друг другу.

Доказательство. Общий прием здесь такой, вот нам нужно доказать равенство этих отрезков. Эти отрезки следует заключить в какие-то треугольники. Доказать равенство этих треугольников, а из равенства треугольников уже будет следовать равенство отрезков. О каких треугольниках здесь удобно говорить? Например, об этих треугольниках: ; . В этих треугольниках сторона по условию. Если у нас исходные треугольники равны, то . Дальше, угол при вершине равен углу при вершине . Давайте обозначим здесь и здесь . Стало быть, .

Угол при вершине равен углу при вершине , значит, и половинки их равны. Значит, если этот угол мы обозначим , то этот тоже будет . Значит, .

Что мы видим? Что сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим углам второго треугольника. Значит, по второму признаку – по стороне и прилежащим углам – эти треугольники равны.

Нам нужно равенство иных элементов этого треугольника. А конкретно третьей стороны. Из равенства этих треугольников следует равенство всех соответственных элементов. Вот биссектриса лежит против угла в одном треугольнике. Другая биссектриса лежит в равном треугольнике против равного угла . Значит, .

.

Что и требовалось доказать. Еще раз: у нас были даны равные треугольники, проведены биссектрисы и доказать нужно было, что биссектрисы эти равны. Общий прием таков: мы эту биссектрису заключили в такие треугольники. Чтобы доказать равенство биссектрис, мы их заключили в треугольники. Еще не знаем, равны или нет, доказываем равенство этих треугольников. Каким образом доказываем равенство этих треугольников? По стороне и двум прилежащим углам. Откуда равенство этих элементов? Из условия: исходные  треугольники равны между собой. Значит, стороны , углы равны, , значит, равны их половинки. Значит, по стороне и двум прилежащим углам заштрихованные треугольники равны. Значит, равны все их соответственные элементы. В том числе те элементы, которые лежат против равных углов . Это искомая нам биссектриса. Значит, биссектрисы равны, т.к. они в равных треугольниках лежат против равных углов. Рассмотрим задачу на третий признак равенства треугольников.

Задача 3

Рисунок

Даны: треугольники и треугольник . Про эти треугольники известно, что , т.е. одна пара сторон у этих треугольников равная. . Вот эта сторона равна вот этой стороне. Давайте мы для дальнейшего удобства ее просто обозначим за . Нам так будет удобно. Эта длина – , и эта длина – . И еще известно, что медиана, проведенная из вершины , и – медианы равны. Значит, здесь и здесь . Еще известно, что , где и – середины соответствующих сторон. То есть три элемента одного треугольника равны трем элементам другого треугольника, но ни один из них не подпадает под признак равенства треугольников. Действительно, есть две стороны одного треугольника, равны двум сторонам другого треугольника. Про угол ничего не сказано. Равны еще медианы.

Доказать равенство треугольников, что . Если мы это докажем, то в дальнейших задачах, где будут какие-то элементы одного треугольника известны, а попросят найти соответственные элементы другого треугольника, труда не представит. Главное – доказать равенство этих треугольников. Две стороны нам уже известны, что они равны. Хорошо бы доказать, что углы между ними тоже равны. Что . А угол входит во второй треугольник. Угол тоже входит в похожий, вроде бы в равные треугольники. Они действительно равные. Почему? По трем сторонам. Две стороны равны друг другу по условию. Медианы равны по условию. – это половина вот этой стороны .

– это половина своей стороны, т.е. тоже , следовательно, вот эти отрезки тоже равны друг другу. Этот отрезок равен этому отрезку. То есть если равны стороны по длине, то равны и их половины. Итак, мы доказали равенство треугольников. (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует много полезных вещей. Для нас главная польза в том, что , т.к. оба этих угла лежат против равных медиан. Значит, . Теперь мы можем переходить к исходным треугольникам, равенство которых требуется доказать. Раз мы доказали равенство углов, то теперь в треугольнике исходном мы имеем две стороны и угол между ними. Во втором треугольнике такие же две стороны и такой же угол между ними, а конкретно по условию. по условию. Теперь еще и угол между ними, . Отсюда мы заключаем, что исходный треугольник, исходный по двум сторонам и углу между ними. Еще один признак равенства треугольников – первый признак.

Итак, в этой задаче мы сначала использовали третий признак равенства треугольников. Доказали равенство заштрихованных отрезков. У них все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. Из равенства этих заштрихованных треугольников мы взяли равенство углов . Тогда большой треугольник, исходный , равен исходному треугольнику по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, мы здесь использовали два признака равенства треугольников. Мы видим, что треугольники, равенство треугольников играет большую роль даже в таких относительно простых задачах. Иногда нам приходится доказывать равенство треугольников по трем другим элементам. Вот, в частности, давайте мы сформулируем еще раз четвертый признак равенства треугольников. А именно: по двум сторонам и большему из углов. Больший, не обязательно тупой, но для наглядности нарисуем треугольник , один из углов самый большой. Он не обязательно тупой, например, , , два угла. Для наглядности нарисовали. Дальше нарисуем . Угол пусть будет точно такой же. Пусть две стороны , одна пара равна. Вторая пара равна: . Если бы между ними углы были равны, то мы бы получили первый признак равенства треугольников. Теперь не угол между ними, , но – наибольший из углов. В свое время мы доказывали, что и четвертый признак, что эти треугольники равны, и при этом мы использовали теорему о внешнем угле треугольников. Доказательство на предыдущих занятиях это было, мы повторять его не будем, но сконцентрируем на нем внимание. Четвертый признак – это по двум сторонам и наибольшему из углов. И подчеркнем, что этот угол наибольший не обязательно находится между равными сторонами.

Итак, мы повторили признаки равенства треугольников. Еще раз сформулировали четвертый признак равенства треугольников и в процессе решения задач эти признаки равенства треугольников использовали.