10. Задачи на прямоугольный треугольник

Повторение опорных фактов прямоугольного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника:

1) ;

2) ;

3) .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольного треугольника:

1) по двум катетам,

2) по катету и прилежащему острому углу,

3) по гипотенузе и острому углу,

4) по гипотенузе и катету.

Решение задач

Задача 1

Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. Лестница начинает скользить по полу и по стене. Какова траектория движения кошки?

Решение

Вначале имеем такую ситуацию, когда лестница стоит у стены.

В последний момент времени лестница будет лежать на полу.

Что же происходит в промежуточный момент времени?

, . Поэтому кошка опишет следующую траекторию.

Доказать: если в прямоугольном треугольнике середину гипотенузы соединить с противоположной вершиной, то этот отрезок будет равен половине гипотенузы.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Отложим . Треугольник  – равнобедренный, следовательно, .

. Значит, . А значит, треугольник  также является равнобедренным. . . Медиана .

Мы доказали, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема

Дано: .  – медиана.

Доказать: .

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Воспользуемся равенством отрезков. Пусть , тогда , поскольку треугольник  – равнобедренный. Треугольник  также равнобедренный. Пусть , тогда . . Значит, . .

Медиана  .

Задача 2

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна . Один из острых углов . Найти гипотенузу.

Дано: , .

Найти: .

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Проведём . . Этот угол лежит в прямоугольном треугольнике . Из треугольника  следует, что гипотенуза , поскольку катет  лежит против угла . Мы знаем, что . .

Ответ: .

На сегодняшнем уроке мы повторили опорные свойства прямоугольного треугольника и рассмотрели задачи, где эти свойства применяются. На следующем уроке повторим общую схему решения задач на построение.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. «urok.1sept.ru‎» (Источник).

2. «urok.1sept.ru‎» (Источник).

Домашнее задание

1. №47. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

2. Докажите методом от противного, что каждый угол прямоугольного треугольника не может быть тупым.

3. Найдите угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

4. На основании  прямоугольного треугольника  взята точка , равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что  – высота треугольника.