07. Задачи на сравнение и измерение отрезков и углов

Напоминание опорных фактов по теме сравнения и измерения отрезков и углов

Следует вспомнить основные опорные факты, которые необходимо использовать при решении задач.

1) Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2) Каждый отрезок имеет определённую длину, больше нуля.

3) Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4) Из начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, причем только один.

5) Каждый угол имеет определенную градусную меру.

6) Развернутый угол равен .

7) Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

8) От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньший , и притом лишь один.

Решение задач

Задача 1

Точки ,  и  лежат на одной прямой.  cм,  см. Найти расстояние .

Дано:  см,  см.

Найти: .

Решение

Мы знаем, что среди трёх точек, лежащих на одной прямой, существует лишь одна точка, которая лежит между двумя крайними.

Выполним пояснительный рисунок.

1)

Ответ:  см.

Мы допустили ошибку, не рассмотрев все возможные случаи. Точка посередине не обязательно должна быть точкой . Расстояние  мы отложили вправо, значит, мы должны отложить его влево.

Ответ оказался неверным. Рассмотрим второй случай.

2)

Ответ:  см;  см.

В задачах такого типа следует рассматривать все возможные случаи.

Задача 2

Лежат ли точки ,  и  на одной прямой, если  см,  см,  см?

Решение

Если точки лежат на одной прямой, то больший из отрезков, образованный точками, равен сумме двух других отрезков.

 см, но  см.

Ответ: точки не лежат на одной прямой.

Задача 3

Являются ли эти три точки сторонами некоторого треугольника? (см. условие задачи 2).

Решение

Нам известно неравенство треугольника, которое гласит, что наибольшая из длин меньше, чем сумма двух других.

Следовательно, эти отрезки могут являться сторонами треугольника. В дальнейшем мы узнаем, что один из его углов (а именно: угол ) будет прямой.

Ответ: да, являются.

Задача 4

Прямой угол двумя лучами разделён на три равных угла, . Найти угол между биссектрисами крайних углов  и .

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

.

Проведены биссектрисы  и . Необходимо найти .

.

.

.

Ответ: .

Задача 5

Построен луч . В разные стороны от этого луча отложен один угол и второй угол. . Проведены биссектрисы  и . Найти угол между биссектрисами.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Обозначим , .

.

Ответ: .

Задача 6

От луча  в одну сторону отложено два угла:  и . . Найти угол между биссектрисами углов.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

 – биссектриса угла ,  – биссектриса угла . Необходимо найти угол между биссектрисами, то есть .

Рекомендуем эту задачу для самостоятельного решения.

Ответ: .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели задачи на сравнение и измерение отрезков и углов, повторили опорные факты. На следующем уроке мы будем решать задачи на признаки равенства треугольников.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. №8. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

2. Луч  проходит между сторонами угла . Луч  делит угол  пополам, а луч  – угол  пополам. Определите угол , если .

3. На луче  отложены отрезки  см и  см. Какая из трёх точек , ,  лежит между двумя другими? Ответ объясните.

4. Докажите, что если биссектрисы углов  и  перпендикулярны, то точки ,  и  лежат на одной прямой.