10. Задачи на третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольника

Напоминание:

1. Геометрические фигуры, а в данном случае треугольники, равны, если они совмещаются наложением.

Треугольник = треугольнику , поскольку они совмещаются наложением.

2. Совмещающиеся (соответственные) элементы равны

Вспомним формулировку третьего признака равенства треугольников.

Третий признак, как и любой другой признак, гарантирует равенство (совмещение) треугольников. Третий признак – это признак по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Отсюда следует, что треугольники и  равны по третьему признаку. А это означает равенство всех соответственных углов.

Решение задач

Пример 1:

Дано:

Найти:.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Значит, треугольники и равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. .

 Ответ:.

Пример 2:

Дано: .

Доказать:треугольник =  треугольнику.

Доказательство. Выполним пояснительный рисунок:

1. треугольник =  треугольнику . Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников ( – по условию, – по условию, – как вертикальные). Отсюда следует, что . Обозначим их за .

2. треугольник = треугольнику . Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников ( – по условию, – по условию, – как вертикальные). Отсюда следует, что . Обозначим их за .

3..

Отсюда следует, что треугольники и равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Пример 3:

Дано: .

Найти:.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

1) треугольник = треугольнику по третьему признаку равенства треугольников ( – общая сторона, – по условию, – по условию).

2) . Это следует из равенства треугольников. Оба угла лежат против общей стороны ВС.

Ответ:.

Пример 4:

Дано: .

Доказать:.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

1. треугольник = треугольнику по третьему признаку равенства треугольников (– общая сторона, другие стороны равны по условию). Из равенства треугольников имеем равенство соответствующих углов. .

2. Треугольник – равнобедренный, а значит,. Треугольник – также равнобедренный,

3. , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели некоторые типовые задачи на третий признак равенства треугольников. С признаками равенства треугольников мы далее будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы познакомимся с признаками параллельности прямых.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «kaknauchit.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 39. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. . Докажите, что треугольник = треугольнику .

3. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и высоте, проведенной к ней.

4. На стороне угла обозначены точки и , а на второй – точки и так, что и . Докажите, что точка пересечения отрезков и лежит на биссектрисе угла . Возможно ли воспользоваться этим построением, чтобы разделить на местности угол пополам, не пользуясь углоизмерительными приборами?