02. Задачи на углы треугольника

Свойства углов треугольника

Треугольник – это центральная фигура геометрии. Он обладает многими удивительными свойствами. Два этих свойства, касающихся углов, мы сейчас повторим.

Пусть дан треугольник  с внутренними углами ,,.

Теорема утверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна  (см. Рис. 1).

Это теорема о внутренних углах треугольника.

Следующая теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним (см. Рис. 2).

Из того, что сумма внутренних углов треугольника градусов, вытекает наличие трех видов треугольников.

Виды треугольников

Первый – это остроугольный треугольник .

, ,

Например: (см. Рис. 3).

В сумме углы составляют , каждый из них меньше .

Тупоугольный треугольник (см. Рис. 4)

 – угол  тупой, т. е. лежит в пределах от градусов до градусов.

Например:

Тупым может быть только один угол.

Прямоугольный треугольник (см. Рис. 5)

,

Например:

Таким образом, мы рассмотрели все виды треугольников.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на углы треугольника.

Задача 1

Найдите угол  треугольника , если угол  равен градусов, угол  равен градусов (см. Рис. 6).

Дано:

,,.

Найти:.

Решение

Ответ:.

Здесь мы воспользовались теоремой о внутренних углах треугольника.

Задача 2

Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника – острые (см. Рис. 7).

Дано:,.

Доказать:, .

Доказательство

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (по свойству равнобедренного треугольника): .

Пусть , тогда  . Это противоречит тому, что .

Что и требовалось доказать.

В предыдущих задачах фигурировали только внутренние углы треугольника. В следующей задаче присутствует внешний угол треугольника.

Задача 3

Найдите углы в треугольнике , если , внешний угол при вершине  равен градусам (см. Рис. 8).

Дано:,,.

Найти:,,.

Решение

Данный треугольник равнобедренный по условию.

Вспомним, что внешний угол  и внутренний угол  – смежные углы и в сумме осоставляют . Один из них дан, значит, можно найти другой, а если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны , а, зная эти два угла, мы можем найти и третий угол.

Ответ:; .

Задача 4

Найти сумму углов при всех вершинах пятиконечной звезды (см. Рис. 9).

Дано: – звезда.

Найти:.

Решение

Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике угол при вершине  равен , так как угол  в этом треугольнике – внешний для треугольника .

 по той же теореме для треугольника .

При сложении всех трех углов треугольника получим:

Значит искомая сумма равняется .

Ответ:.

Примечание: данная сумма верна для пятиконечной звезды любой формы, с любыми углами.

Список литературы

1. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 2-е изд. – М.: 2014 – 240 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. – 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине на  больше угла при основании?

2. Определите величины углов равнобедренного треугольника , если внешний угол угла  при основании  равен .

3. Определите величины углов треугольника , если .