01. Четырёхугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция

Прямоугольник и его свойства

Напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

и

Рассмотрим частные случаи параллелограмма:

1. Прямоугольник. Параллелограмм, один из углов которого равен  (см. Рис. 2).

Поскольку один угол данного параллелограмма равен , можем сделать вывод, что все углы прямоугольника составляют .

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен .

Итак, если хотя бы один угол параллелограмма равен , то это прямоугольник. Одного угла достаточно в силу свойств параллелограмма, согласно которым противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов при одной стороне составляет .

Все свойства параллелограмма присущи прямоугольникам:

- противоположные стороны равны;

- противоположные углы равны;

- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

Собственные свойства прямоугольника:

- диагонали прямоугольника равны – .

Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм является прямоугольником. Чтобы доказать данный факт, нужно доказать, что хотя бы один угол заданного параллелограмма прямой.

Ромб и его свойства

2. Ромб. Параллелограмм, у которого соседние стороны равны (см. Рис. 3).

Чтобы нарисовать ромб, нужно провести две взаимно перпендикулярных прямых, отложить на одной из них в обе стороны равные отрезки, на другой также отложить в обе стороны равные отрезки, и соединить полученные четыре точки.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого соседние стороны равны.

Ромбу, как и прямоугольнику, присущи все свойства параллелограмма:

- все стороны ромба равны по определению;

- диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам;

- противоположные углы ромба равны.

Докажем, что диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, , точка – середина основания , т.к. диагонали ромба, как любого параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, – медиана. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, таким образом, и . Мы доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то данный четырехугольник – ромб.

Квадрат и его свойства

3. Квадрат (см. Рис. 4)

– параллелограмм. Хотя бы один угол равен  – . Хотя бы одна пара соседних сторон равна друг другу – .

Если четырехугольник является квадратом, это означает, что у него все стороны равны (как у ромба), а все углы прямые (как у прямоугольника). Таким образом, квадрат – это частный случай ромба, у которого все углы прямые, и частный случай прямоугольника, у которого соседние стороны равны. Для квадрата справедливы все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Трапеция, виды трапеции

Рассмотрим еще один четырехугольник – трапецию.

Определение

Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 5).

, .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные – боковыми сторонами. Как и у любого четырехугольника, у трапеции есть диагонали и .

Частные случаи трапеции:

- Если боковые стороны трапеции равны друг другу, то она называется равнобедренной или равнобочной;

- Трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой, называется прямоугольной.

Пусть заданы пересекающиеся прямые и (см. Рис. 6). Точка пересечения – . Отложим на прямой от точки равные отрезки длиной , получим точки , , в одну сторону и , в другую сторону. Через полученные точки проведем параллельные прямые. Получили точки пересечения построенных параллельных прямых с прямой : , , , , . Оказывается, что из равенства отрезков на прямой а вытекает равенство отрезков на прямой – на другой стороне угла .

Теорема Фалеса, формулировка и пример

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые так, чтобы они пересекли вторую сторону угла, то на второй стороне угла получатся также равные отрезки.

Пример: рассечь отрезок на три равные части (см. Рис. 7).

Задан отрезок , требуется разделить его на три равные части.

Из точки отложим на горизонтальной прямой три отрезка длиной а, получаем точку . Соединим точки и . Через концы отложенных отрезков проводим прямые, параллельные . По теореме Фалеса, мы получили равные отрезки длиной на стороне .

Итак, на данном уроке мы рассмотрели частные случаи параллелограмма, а именно ромб, прямоугольник и квадрат, и их свойства. Кроме того, мы рассмотрели трапецию и ее частные случаи, вспомнили теорему Фалеса и выполнили пример.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Задание 1: диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .

2. Задание 2: прямые, содержащие боковые стороны трапеции с основанием , пересекаются в точке . Найдите угол , если , .

3. Задание 3: докажите, что если в параллелограмме углы и  равны, то он является прямоугольником.