07. Четырёхугольники

Неоднозначное задание четырёхугольника

Треугольник однозначно определяется своими сторонами. Т. е., зная три стороны треугольника, можно найти его углы, площадь и т. д. С четырёхугольником уже не так. С одним и тем же набором сторон можно составить различные четырёхугольники (см. рис. 1).

Если взять два треугольника, то даже из них можно составить разные четырёхугольники (см. рис. 2).

Поэтому для произвольного четырёхугольника мы сможем вывести не так много свойств. В основном мы будем подробно изучать некоторые виды четырёхугольников (например, с равными сторонами и/или углами и т. д.). Но пока поговорим о том, что же все-таки можно сказать про произвольный четырёхугольник.

Любой четырёхугольник разбивается на треугольники (см. рис. 3).

Это позволяет нам использовать все изученные свойства треугольников для четырёхугольников. Но понятно, что фигуры это всё-таки разные. Поговорим об этих различиях. Кроме очевидного отличия — три стороны и три вершины у треугольника, четыре стороны и четыре вершины у четырёхугольника — чем ещё они отличаются принципиально?

Очень важное различие, о котором знает каждый плотник, состоит в том, что треугольник — «жёсткая» фигура, а четырёхугольник (как и все остальные многоугольники) — «нежёсткая».

У треугольника невозможно изменить его форму, не изменив длин сторон. При этом у любого четырёхугольника можно изменить его форму, не меняя длины сторон. На практике это будет означать, что треугольник, сколоченный из трёх дощечек, будет жёстким, не будет сминаться даже при сильных воздействиях, а четырёхугольник при достаточной нагрузке со стороны изменит свою форму (см. рис. 4).

В частности, поэтому на табуретках иногда добавляют дощечки, чтобы образовались треугольники (см. рис. 5).

Жёсткость треугольника определяется третьим признаком равенства треугольника — по трём сторонам (если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны) (см. рис. 6).

Очевидно, у четырёхугольника такой аналог отсутствует — мы уже говорили, что четыре стороны однозначно не задают четырёхугольник (см. рис. 7).

Диагонали четырёхугольника

Другое важное отличие: у треугольника все вершины являются соседними, а у четырёхугольника есть противоположные вершины, соединяя которые мы получаем новые элементы — диагонали (их у четырёхугольника будет ) (см. рис. 8). Понятно, что диагонали есть и у остальных многоугольников с большим количеством вершин.

Количество диагоналей многоугольника

У четырёхугольника  диагонали. А сколько диагоналей у угольника? Давайте посчитаем: рассмотрим произвольную вершину угольника. Она будет соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме самой себя и двух соседних (с которыми она соединена сторонами) (см. рис. 1).

Т. е. из каждой вершины можно провести  диагонали (см. рис. 2).

Получаем:  диагоналей. Но каждую диагональ мы посчитали дважды (для каждой из двух вершин, которые она соединяет). Поэтому получаем  диагоналей.

Например, в шестиугольнике  диагоналей, в треугольнике  диагоналей, в четырёхугольнике  диагонали и т. д.

Выпуклость четырёхугольника

Существенное отличие четырёхугольника от треугольника в том, что он может быть выпуклым или невыпуклым (см. рис. 9).

Что такое выпуклость? Интуитивно понятно. Строгое определение выпуклого многоугольника: если взять любую сторону многоугольника и рассмотреть прямую, которая её содержит, то выпуклый многоугольник будет всегда лежать по одну сторону от этой прямой (см. рис. 10).

В основном в дальнейшем мы будем рассматривать выпуклые четырёхугольники. Почему? Попробуйте найти вокруг себя невыпуклые четырёхугольники (или любые другие невыпуклые многоугольники). Конечно, выпуклые встречаются намного чаще.

Сумма углов четырёхугольника

Одним из первых и важных свойств треугольника, которое мы получили, было то, что сумма его углов постоянна. Можно ли сказать то же самое про четырёхугольник? Вспомним, что любой четырёхугольник состоит из двух треугольников (достаточно провести диагональ). Но сумма углов каждого из них одинакова и равна , значит, сумма углов четырёхугольника равна (см. рис. 11).

Мы рассмотрели выпуклый четырёхугольник. Самостоятельно начертите невыпуклый многоугольник и убедитесь, что для него результат будет таким же.

Сумма углов многоугольника

У любого треугольника сумма углов равна , у любого четырёхугольника — . А что можно сказать про угольник? Посчитаем.

Рассмотрим произвольную вершину угольника и проведем из неё все диагонали. Мы знаем, что их будет . А значит, наш угольник разобьётся ими на  треугольника.

Сумма углов каждого из них равна , поэтому сумма углов угольника равна:

Мы провели доказательство для выпуклого многоугольника, его несложно уточнить и для невыпуклого. Если подставить , получим  (у треугольника), если подставить , получим  (у четырёхугольника) и т. д.

Трапеция и параллелограмм

Как мы уже сказали, основное внимание мы будем уделять не произвольным четырёхугольникам, а некоторым «специальным», которые обладают особыми свойствами.

Треугольник мы рассматривали как фигуру, которая образуется на пересечении трёх прямых на плоскости. Четырёхугольник образуется четырьмя прямыми, и, в отличие от треугольника, некоторые из них могут быть параллельными (противоположные стороны).

Если у четырёхугольника две стороны параллельны, то он называется трапецией (обычно подчёркивают, что две другие при этом непараллельны, чтобы отделить трапецию от параллелограмма) (см. рис. 12). Изучением её свойств мы займёмся на следующем уроке.

А вот если у четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, то он называется параллелограммом (см. рис. 13).

Займёмся изучением его свойств, а также частными случаями параллелограмма — прямоугольником, ромбом и квадратом (см. рис. 14).

Свойства параллелограмма

Итак, определение: четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Посмотрим, какие свойства параллелограмма следуют из его определения.

Сразу можно сказать, что сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна , т. к. это внутренние односторонние углы при параллельных прямых (см. рис. 15).

Проведём в параллелограмме диагональ. Она разбивает его на два треугольника.

, а углы  и  являются внутренними накрест лежащими. Значит, они равны друг другу: . Аналогично  (см. рис. 16).

Сторона  является общей для двух треугольников. Но тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства (двум углам и стороне).

Таким образом, мы получили, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Т. к. треугольники равны, то:

Точно так же равны и пары углов:

Итак, можем сформулировать полученные выводы в виде теоремы.

Теорема 1

В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны (см. рис. 17).

В любом выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются. Про точку их пересечения ничего определённого сказать нельзя, кроме того, что она лежит внутри четырёхугольника.

Проведём теперь обе диагонали в параллелограмме. Похоже, что точка пересечения делит обе диагонали пополам. Проверим, так ли это.

Как противоположные стороны параллелограмма,

Как внутренние накрест лежащие равны пары углов,

Следовательно, треугольник  равен треугольнику  (см. рис. 18), откуда:

Т. е. наше предположение оказалось верным.

Теорема 2

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам (см. рис. 19).

Итак, суммируем: противоположные стороны параллелограмма параллельны по определению.

И в дополнение к этому мы доказали следующие свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны равны;

2. противоположные углы равны;

3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма

Две теоремы, которые мы доказали, являются свойствами, или необходимыми признаками параллелограмма. Достаточные признаки работают в другую сторону: по ним можно однозначно распознать параллелограмм среди других четырёхугольников.

Далеко ходить не надо: оказывается, наши только что доказанные свойства работают в обратную сторону. Итак, сформулируем три основных признака параллелограмма (можете самостоятельно попробовать сформулировать и другие — например, через равенство противоположных углов).

Признак 1

Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырёхугольнике  (см. рис. 20):

Что нам мешает уже сейчас назвать этот четырёхугольник параллелограммом? У нас только одна пара параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Проведем диагональ. Два полученных треугольника равны по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними) (см. рис. 21):

1.  — общая сторона;

2.  (по условию);

3.  (как внутренние накрест лежащие для параллельных прямых).

Из равенства треугольников также следует:

Но они тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых  и . А это уже признак параллельности прямых. Значит,  и  — параллелограмм (по определению).

Доказано.

Признак 2

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырёхугольнике  (см. рис. 22):

Докажите этот признак самостоятельно по точно такой же схеме, как и предыдущая, — проведите диагональ, воспользуйтесь признаком равенства треугольников по трём сторонам, а затем — признаком параллельности прямых.

Доказано.

Признак 3

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство

Если диагонали четырёхугольника  точкой  делятся пополам, то треугольник  равен треугольнику  по двум сторонам и углу между ними (см. рис. 23):

1. ;

2. ;

3. углы между ними равны как вертикальные.

Раз треугольники равны, то стороны . Кроме того, эти стороны параллельны, потому что накрест лежащие углы . Тогда  является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали чуть раньше.

Доказано.

Итак, мы получили основные свойства параллелограмма, а также его признаки (т. е. то, что однозначно выделяет параллелограмм из других четырёхугольников). Поскольку они совпали, то их можно рассматривать в качестве эквивалентных определений параллелограмма. Например, параллелограмм — это четырёхугольник, у которого диагонали точной пересечения делятся пополам. Но исторически сложилось (и по названию это понятно), что в основу определения легла именно параллельность противоположных сторон.

Площадь параллелограмма

Одна из важных характеристик любой фигуры на плоскости — площадь, которую она занимает. Найдём площадь параллелограмма, используя то, что он разбивается диагональю на два равных треугольника.

Проведем в параллелограмме высоту к основанию  (см. рис. 24) (из любой вершины параллелограмма можно провести две высоты — к двум сторонам) (см. рис. 25).

Площадь треугольника равна:

Площадь  параллелограмма  равна удвоенной площади  треугольника :

Итак, площадь параллелограмма равна произведению длины его высоты на длину основания, к которому эта высота проведена:

С другой стороны, мы могли бы сказать, что площадь  треугольника  равна:

Поэтому площадь  параллелограмма  также можно вычислять по следующей формуле:

Т. е. площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними (см. рис. 26):

Формула для вычисления площади не только параллелограмма, но и любого четырёхугольника:

,

где  и  — длины диагоналей, а  — угол между ними (см. рис. 27).

С выводом данной формулы вы можете ознакомиться ниже.

Ещё одна формула площади параллелограмма

Мы получили формулы для вычисления площади параллелограмма через длины высоты и стороны, через длины сторон и угол между ними. А можно ли найти площадь параллелограмма, зная его диагонали? Оказывается, можно (если знать ещё и угол между ними), причём не только параллелограмма, но и произвольного четырёхугольника.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник , проведём в нем диагонали  и , которые пересекутся в точке  (см. рис. 1).

Введём обозначения (см. рис. 2):

Тогда площадь четырёхугольника  равна сумме площадей четырёх треугольников :

Вспомним, что синусы смежных углов равны (см. урок «Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов»):

Тогда получаем:

перегруппируем слагаемые:

т. к. , т. е. , то:

перегруппируем слагаемые:

т. к. , т. е. , то:

Если обозначить длины диагоналей  и , то получим формулу площади произвольного четырёхугольника — полупроизведение диагоналей на синус угла между ними:

Понятно, что эту формулу можно использовать и для нахождения площади параллелограмма, т. к. он является четырёхугольником.

Прямоугольник

Итак, мы рассмотрели свойства четырёхугольника, у которого противоположные стороны параллельны (и, как мы выяснили, равны). Для треугольников мы рассматривали частные случаи, когда были равны стороны и углы. Конечно, существует много случаев равенства двух или даже трёх сторон или углов. Но далеко не все такие четырёхугольники представляют интерес для изучения (хотя бы потому, что редко встречаются на практике).

Поэтому рассмотрим только самые частные случаи — четырёхугольники с равными углами и четырёхугольники с равными сторонами (сразу обратите внимание, что это могут быть разные четырёхугольники — и это ещё одно отличие от треугольников, где мог быть только один такой — равносторонний).

Начнём с углов. Т. к. сумма углов четырёхугольника равна , то равенство возможно только в том случае, если все углы прямые.

Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником (см. рис. 28). Т. к. две противоположные стороны перпендикулярны третьей, то эти стороны параллельны друг другу.

Но тогда любой прямоугольник является параллелограммом (прямоугольник — частный случай параллелограмма). Или так: множество прямоугольников — это подмножество параллелограммов (см. рис. 29). Раз он параллелограмм, то для него выполняются и все свойства параллелограмма (а признаки — нет, подумайте почему).

Например, противоположные стороны у прямоугольника равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам (см. рис. 30).

Наследование свойств — очень приятная вещь. Но больший интерес представляют исключительные свойства — те, которыми обладают прямоугольники, но ещё не обладали параллелограммы.

Легко заметить, что диагонали прямоугольника равны друг другу. Доказать этот факт совсем несложно. Попробуйте это сделать самостоятельно, а проверить себя ниже.

Доказательство

Докажем, что диагонали  и  прямоугольника  равны. Рассмотрим два треугольника —  и  (см. рис. 1):

1. ;

2. как противоположные стороны прямоугольника — параллелограмма;

3. — общая сторона.

Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства). Но тогда равны и их гипотенузы:

Площадь прямоугольника

Формула площади прямоугольника является частным случаем формулы площади параллелограмма. Высотой прямоугольника является его боковая сторона, поэтому формула площади параллелограмма  приобретает вид:

Но на самом деле мы сейчас поменяли местами причину и следствие. Когда мы вводили понятие площади, то определили площадь квадрата, через неё вывели формулу площади прямоугольника, а уже через неё — площадь треугольника, через которую получили площадь параллелограмма. Т. е. можно сказать, что формула площади прямоугольника первична по отношению к формуле площади параллелограмма.

Вписанный параллелограмм

Рассмотрим параллелограмм, вокруг которого можно описать окружность. В этом случае должен выполняться признак вписанного четырёхугольника: суммы противоположных углов равны . Но противоположные углы параллелограмма равны, значит, они будут равны по  каждый и параллелограмм будет прямоугольником (см. рис. 31).

Причём центр этой окружности будет лежать на пересечении диагоналей прямоугольника (см. рис. 32) (радиус, соответственно, равен половине диагонали).

Ромб: свойства и формула площади

Другое требование, которое можно предъявить к четырёхугольнику, — это равенство всех сторон. Так мы придём к понятию ромба.

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны (см. рис. 33).

Ромб автоматически подпадает под признак параллелограмма, ведь у него противоположные стороны попарно равны. Таким образом, ромб — это тоже частный случай параллелограмма, как и прямоугольник.

Теперь, наверное, становится понятным, почему рассмотрение «ровных» четырёхугольников мы начали именно с параллельности противоположных сторон, т. е. с параллелограмма.

Требования равенства всех сторон и равенства всех углов приводит к параллельности противоположных сторон, что позволяет новым фигурам (прямоугольнику и ромбу) наследовать все свойства параллелограмма.

Итак, ромб наследует все свойства параллелограмма, например тот факт, что диагонали делятся точкой пересечения пополам (см. рис. 34).

Равенства диагоналей, как мы видим, нет. Это и понятно: ромб не является наследником прямоугольника, а это свойство было именно у него, а не у произвольного параллелограмма.

Но легко заметить новое свойство, которым из всех параллелограммов обладает только ромб. Диагонали ромба перпендикулярны (см. рис. 35).

Доказать этот факт очень легко. Например, так: треугольник  равнобедренный. Следовательно, медиана  (а она медиана, т. к.  — середина ) является и высотой.

Кроме того, она является и биссектрисой, из чего мы получаем ещё одно свойство диагоналей ромба: они являются биссектрисами углов, из которых проведены (см. рис. 36).

Площадь ромба можно найти, используя уже известные нам формулы, например:

Описанный параллелограмм

Рассмотрим параллелограмм, в который можно вписать окружность. Для этого должен выполняться признак описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон равны: . Но тогда получаем: , откуда , т. е. все стороны параллелограмма должны быть равны, значит, описанный параллелограмм — это ромб (см. рис. 37).

Центр вписанной в ромб окружности всегда лежит на пересечении диагоналей, а радиус равен половине высоты (см. рис. 38).

Квадрат: основные формулы

Мы рассмотрели отдельно равенство всех углов и равенство всех сторон. Рассмотрим, наконец, самый частный случай — четырёхугольник, у которого равны все стороны и все углы. Понятно, что это будет не просто параллелограмм, а фигура, которая является одновременно и прямоугольником, и ромбом, наследуя все их свойства. И фигуру эту мы хорошо знаем — это квадрат.

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны (см. рис. 39).

Можно поэкспериментировать с определениями: квадрат — это ромб, являющийся прямоугольником; квадрат — это прямоугольник, являющийся ромбом.

Формула площади квадрата выглядит проще всего (см. рис. 40):

Используя теорему Пифагора, несложно выразить диагональ квадрата через длину его стороны (см. рис. 41):

Квадрат, являясь одновременно и ромбом, и прямоугольником, является одновременно и вписанным, и описанным четырёхугольником (см. рис. 42), причём центры вписанной и описанной окружностей у него совпадают (точка пересечения диагоналей).

Несложно вычислить, что радиус вписанной окружности у него равен половине стороны:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

Заключение

Напоследок посмотрим ещё раз на все фигуры, которые мы изучили. Начали мы с четырёхугольника. Потребовав параллельность двух сторон, мы получили два вида фигур: параллелограммы (обе пары сторон параллельны) и трапеции (две стороны параллельны, две другие нет), о которых подробнее поговорим на следующем уроке.

Мы рассмотрели свойства параллелограмма и выяснили, что у него попарно равны противоположные стороны и углы, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Далее, потребовав равенства всех углов, мы получили частный случай параллелограмма — прямоугольник. Кроме наследования всех свойств параллелограмма, у него оказались равные диагонали.

Равенство всех сторон дало нам другой частный случай параллелограмма — ромб. Кроме свойств параллелограмма, у ромба диагонали оказались перпендикулярными, да ещё и являются биссектрисами углов.

На пересечении множеств прямоугольников и ромбов появилось множество квадратов. Так мы назвали четырёхугольники, у которых равны все стороны и все углы.

Изученные нами свойства четырёхугольников и, в частности, параллелограммов — это новые инструменты, которые мы в скором времени активно потренируемся применять на практике.

Список литературы

1. Геометрия, учебник для 8 кл. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — Москва: «Просвещение», 2018.

2. Геометрия, учебник для 8 кл. / В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов / Под ред. В. А. Садовничего. — Москва: «Просвещение», 2018.

3. Геометрия, учебник для 8 кл. / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — Москва: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-портал ru.onlinemschool.com.

2. Интернет-портал math4school.ru.

3. Интернет-портал yaklass.ru.

Домашнее задание

1. Один из углов параллелограмма на  меньше другого. Найдите углы параллелограмма.

2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна , а периметр равен .

3. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.