06. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора

Цель урока

Мы знаем, что если у двух треугольников равны две стороны и углы между ними тоже равны, то такие треугольники обязательно равны. Это один из признаков равенства треугольников.

Признак равенства треугольников, прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой и во втором треугольнике тоже один из углов прямой, то эти углы равны друг другу. И если стороны, заключающие прямые углы (а стороны, которые заключают прямые углы, называются катетами), равны, то равны и сами прямоугольные треугольники. Но это, в свою очередь, означает, что если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, то гипотенуза определена одним единственным образом, который мы и рассмотрим.

Египетский треугольник

Еще в Древнем Египте было известно, что если взять прямоугольный треугольник, катеты которого равны и единицы, то гипотенуза обязательно будет равна единицам.

В Древнем Египте часто пользовались таким треугольником. Он называется египетским треугольником (рис. 1). Это самый маленький из прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Вы можете сложить прямоугольные треугольники с помощью спичек и увидеть, что если хотя бы какой-нибудь из катетов будет меньшим числом, то гипотенуза обязательно не будет целым числом.

Формулирование теоремы Пифагора

Мы готовы сформулировать теорему Пифагора и записать формулу, которая позволит вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты этого прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

– эта формула и называется теоремой Пифагора (рис. 2).

Теорема Пифагора формула

– в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задача № 1, доказательство теоремы Пифагора

Докажем теорему Пифагора.

Задача № 1. Дано: прямоугольный треугольник , в котором угол – прямой . Катет , катет , гипотенуза (рис. 3).

Доказать:

Решение.

В формуле, которую нам необходимо доказать, фигурируют квадраты трех величин: квадраты , и . В геометрии мы сталкиваемся с квадратами длин отрезков, когда считаем площади фигур. Но и, наверное, самая простая фигура, площадь которого можем посчитать – квадрат. Соответсвенно, первая мысль – достроить эту картинку до квадратов. Достроим треугольник до квадрата со стороной .

Для этого продолжим катет на длину катета , а на длину катета (рис. 4).

Достроим получившуюся картинку до прямоугольника (рис. 5).

У этого прямоугольника смежные стороны равны . Значит, этот прямоугольник обязательно является квадратом. Обозначим получившиеся точки буквами. Получим квадрат .

Все стороны этого квадарта равны . Соответственно, стороны и тоже можем разделить на отрезки и . Обозначим эти точки буквами и . Соединим точку с точкой , точку с точкой , точку с точкой (рис. 6).

Квадрат оказался разрезанным на фигур: треугольника по углам и четырехугольник в центре. Если этот четырехугольник окажется квадратом, то это будет удобно для нас. Но это сначала нужно доказать.

Выясним, что мы знаем про получившуюся фигуру. Все треугольника обязательно являются прямоугольными, потому что каждый из них содержит один из углов квадрата . Катеты в этих треугольниках равны и . Значит, все эти треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними). А если все эти треугольники равны друг другу, то равны все их соответсвенные элементы. Например, все гипотенузы у них обязательно равны (рис. 7).

Значит, четырехугольник – ромб. Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромб. Мы доказали, что все стороны равны, . – ромб.

Гипотенуза не единственное, что равно у наших треугольников. Еще у них равны все острые углы. Отметим это на картинке. Во-первых, равны . Зеленым цветом обозначим эти углы, величиной . И такие углы тоже равны: . Красным цветом обозначим углы величиной (рис. 8).

На нашей картинке отмечено очень много углов, но не все. Остался, например, не отмеченным . Вычислим его.

Эти три угла вместе, , , , составляют развернутый угол. Соответственно:

.

Преобразуем эту формулу следующим образом:

.

У нас получилась сумма . Что такое сумма ? Это сумма острых углов прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна . Поэтому получается:

. То есть – прямой. А значит наш ромб является квадратом. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб обязательно квадрат.

Мы получили: большой квадрат , квадрат меньше . Можно начинать записывать площади.

С одной стороны, – квадрат и его площадь можно посчитать как квадрат стороны:

С другой стороны, этот квадрат состоит из фигур: треугольников и квадрата в центре. Площадь квадрата в центре равна , а четыре треугольника равны друг другу и площадь каждого из них – половина произведения катетов.

Площадь четырехугольника не зависит от того, каким образом мы с вами ее считаем. Она всегда одна и та же. Соответственно, мы можем приравнять наши равенства, но сначала их надо преобразовать.

В первом равенстве раскрываем квадрат суммы:

Во втором случае:

Первое выражение равно второму.

И там, и там есть . От них легко отказаться – сократим их. И получим:

То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что и требовалось доказать.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. Интересным является тот факт, что многие из них почти не требуют алгебры. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства.

Задача № 2, доказательство Древней Индии

Рисовали одинаковых квадрата. Один такой, как у нас уже был нарисован (№ ). И второй тоже со стороной . Такой же квадрат, но разрезали его немного по-другому (№ ) (рис. 9).

Сначала его разрезали на фигуры: квадрата. Один со стороной , второй со стороной . Соответственно, по углам оставались прямоугольники со сторонами и . А дальше каждый из этих прямоугольников со сторонами и разрезали пополам на треугольника.

Теперь получается одинаковых квадрата, по-разному разрезанных. И в этих одинаковых квадратах есть одинаковые фигуры. Даже в одном и том же положении. Их равенство выделено одинаковыми цветами на рисунках (рис. 10).

Если у каждой картинке вырезать эти треугольники, то на одной картинке остается квадрат со стороной и площадью ; а на другой картинке остается квадрата со сторонами и , сумма площадей этих квадратов – это .

Такое доказательство использовали в Древней Индии.

Понятие «пифагоровы штаны», задача № 3

Также есть другое доказательство, благодаря которому стало известно про «пифагоровы штаны, которые во все стороны равны». Посмотрите на картинку (рис. 11).

На катетах прямоугольного треугольника построены квадраты. На гипотенузе тоже построен квадрат. Его вырезали, и осталось пустое место (для удобства окрашен в зеленый цвет). Квадраты, которые образованы на катетах, разрезаны на кусочков. Попробуем сложить из этих кусочков квадрат на гипотенузе. (Из двух маленьких квадратов построили большой на гипотенузе. Каждый кусочек со своей окраской показывает расположение в большом квадрате.)

Выводы

Мы видим, что квадрат, построенный на гипотенузе, собран из кусочков квадратов, построенных на катетах (рис. 12). То есть площадь этого квадрата равна сумме площадей этих квадратов .

Список литературы по теме \"Теорема Пифагора\" (формула, доказательство)

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎»

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎»

3. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎»

Домашнее задание на решение задач по формулам по теореме Пифагора

1. Найти гипотенузу , если , – катеты. см, см.

2. Найти в дополнительной литературе различные доказательства теоремы Пифагора .