02. Касательная к окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

Вспомним случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.

Случай 1 – расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки (рис. 1).

Случай второй – расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:

Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная (рис. 2).

Случай 3 – расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:                                                    

Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 3).

На данном уроке нас интересует второй случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Определение касательной

Определение:

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая р – касательная, точка А – точка касания (рис. 4).

Теоремы о касательной и радиусе

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 5).

Доказательство:

От противного – пусть ОА не перпендикулярно прямой р. В таком случае, опустим из точки О перпендикуляр на прямую р, который будет расстоянием от центра окружности до прямой:

Из прямоугольного треугольникаможем сказать, что гипотенуза ОН меньше катета ОА, то есть, прямая и окружность имеют две общие точки, прямая р является секущей. Таким образом, мы получили противоречие, а, значит, теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема о двух касательных

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство:

Поскольку прямая перпендикулярна радиусу, то расстояние ОА – это расстояние от прямой до центра окружности и оно равно радиусу:. То есть, а в этом случае, как мы ранее доказывали, у прямой и окружности единственная общая точка – это точка А, таким образом, прямая р является касательной к окружности по определению (рис. 7).

Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом (рис. 8):

Задана окружность с центром О, прямая р, радиус ОА

Теорема:

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей.

Данная теорема означает, что если прямая является касательной, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей, и наоборот, из перпендикулярности ОА и р следует, что р – касательная, то есть, прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Теорема:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведенной через эту точку и центр окружности.

Задана окружность, центр О, точка А вне окружности. Из точки А проведены две касательные, точки В и С – точки касания. Требуется доказать, чтои что равны углы 3 и 4.

Доказательство:

Доказательство основано на равенстве треугольников. Объясним равенство треугольников. Они являются прямоугольными, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, углыипрямые и равны по. Катеты ОВ и ОС равны, так как являются радиусом окружности. Гипотенуза АО – общая.

Таким образом, треугольники равны по равенству катета и гипотенузы. Отсюда очевидно, что катеты АВ и АС также равны. Также углы, лежащие напротив равных сторон, равны, значит, равны углыи,.

Теорема доказана.

Выводы по уроку

Итак, мы познакомились с понятием касательной к окружности, на следующем уроке мы рассмотрим градусную меру дуги окружности.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «univer.omsk.su» (Источник).

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7–9, № 634–637, с. 168.