04. Окружность

Определение окружности

Дадим определение окружности, допустив типовую ошибку.

Определение

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной заданной – от центра.

Например, под это определение подходит следующее множество точек: четыре вершины квадрата, равноудаленные от центра квадрата, но данные четыре точки , , и не являются окружностью (см. Рис. 1).

Таким образом, в определении пропущено ключевое слово: множество всех точек.

Определение

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной заданной – от центра.

Если известно, что точка лежит на окружности, то расстояние от центра окружности до точки В равно радиусу окружности:  (см. Рис. 2).

И наоборот, если не известно, лежит ли точка на окружности, но известно, что расстояние от нее до центра окружности равно радиусу (), то можно утверждать, что точка принадлежит окружности.

Взаимное расположение прямой и окружности

Соотношение окружности и прямой. Возможны три варианта взаимного расположения окружности и прямой: они могут не пересекаться вообще, пересекаться в одной точке или в двух точках. Особое место занимает случай, когда окружность и прямая имеют единственную общую точку (см. Рис. 3).

Каким образом можно доказать, что общая точка единственная? Около точки расположено множество точек, и возможно, найдется еще одна, общая для окружности и прямой. Но если радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой, то точка касания – единственная общая точка окружности и прямой. В таком случае прямая называется касательной к окружности.

Возьмем точку на окружности и изучим конструкции, которые определяются только окружностью и точкой на окружности (см. Рис. 4).

Если провести из точки два луча, пересекающих окружность, мы получим вписанный треугольник.

Свойства треугольника и окружности в данном случае взаимосвязаны. Для окружности здесь важна теорема о вписанном угле.

Определение

Угол , вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным в окружность углом (см. Рис. 5).

Вписанный угол опирается на дугу, в нашем случае на дугу . Вписанному углу  соответствует центральный угол , .

Теорема о вписанном угле и ее следствие, теорема синусов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 6).

Напомним, что угловое измерение дуги равно угловому измерению соответствующего ей центрального угла.

Если обозначим угол  за , то  и

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 7).

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Комментарий: вспомним теорему синусов для треугольника. Рассмотрим треугольник , обозначим в нем , , ; , . Согласно теореме синусов, получаем:

Отсюда несложно найти радиус окружности, если для вписанного в нее треугольника известны сторона и синус противолежащего ей угла:

Возникает некоторая неопределенность. Очевидно, что по таким двум элементам, как сторона и синус противолежащего ей угла, треугольник не определен. Таких треугольников бесчисленное множество, несколько показаны на Рис. 7. Тем не менее, все это семейство треугольников имеет одну и ту же описанную окружность, радиус которой, естественно, один и тот же.

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 8).

Запишем теорему синусов в том виде, в котором она часто используется.

Теорема синусов

Сторона треугольника равна удвоенному произведению синуса противолежащего ей угла на радиус описанной около треугольника окружности: ; ; .

Вернемся к рассмотрению простейшей геометрической конструкции – окружности и точки на окружности. Проведем через данную точку касательную и хорду и рассмотрим угол между ними.

Теорема об угле между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, отсекаемой хордой, то есть любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу (см. Рис. 9).

Дано: – касательная к окружности, – хорда, угол  – угол между касательной и хордой, угол  – вписанный угол, опирающийся на дугу .

Доказать: .

Итак, нам нужно доказать, что если , то дуга , то есть соответствующий ей центральный угол .

По условию – касательная к окружности, отсюда по определению точка – единственная общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, будет перпендикулярен касательной, то есть , .

Поскольку и , то .

Треугольник  равнобедренный, т.к. две его стороны равны радиусу окружности, – основание треугольника, углы при основании равны, отсюда .

Сумма углов треугольника составляет , запишем сумму для треугольника :

, что и требовалось доказать.

Итак, все вписанные углы, опирающиеся на отсеченную дугу , равны углу между касательной и хордой.

Итак, мы дали определение окружности, вспомнили варианты взаимного расположения окружности и прямой. Мы рассмотрели простейшую геометрическую конструкцию – окружность и точку на окружности. В связи с этой конструкцией мы рассмотрели несколько теорем и их следствий.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎edu.glavsprav.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: расстояние от точки до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку , является секущей по отношению к данной окружности.

2. Задание 2: хорды и окружности с центром равны. Докажите, что две дуги с концами и соответственно равны двум дугам с концами и .

3. Задание 3: на полуокружности взяты точки и так, что , . Найдите хорду , если радиус окружности – 15 см.