11. Описанная окружность

Введение

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности, при этом многоугольник называется вписанным в окружность (см. рис. 2).

Вся теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра (см. рис. 1).– серединный перпендикуляр.

Теорема: серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Т.е. центр окружности, описанной около отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда все его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

В данном случае,,,– четыре серединных перпендикуляра четырехугольника, должны пересечься в одной точке, точке, тогда около этого многоугольника можно описать окружность (см. рис. 2).

Окружность, описанная вокруг треугольника

Не каждый многоугольник обладает таким свойством, любой треугольник этим свойством обладает.

Теорема 1: около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство: дан треугольник. Его серединные перпендикуляры,,. Серединный перпендикулярпересечется с серединным перпендикуляромв некоторой точке(см. рис. 3).

Они пересекутся, т.к.перпендикулярен кпо определению,перпендикулярен к, но не перпендикулярен к, так как в таком случае будет две прямые перпендикулярные к, что невозможно, значит,ине параллельны и обязательно пересекутся (см. рис. 4).

Рассмотрим свойства точки. Точкапринадлежит перпендикуляру, а значит, она равноудалена от его концов,, точкалежит на втором серединном перпендикуляре, значит, она равноудалена от точеки,.

Выясняется, что точкаравноудалена от всех трех вершин треугольника. Обозначим это расстояние за.

Точкаравноудалена от точеки, значит, она лежит на серединном перпендикулярек отрезку.

Три серединных перпендикуляра пересекаются в точке.

Окружность с центром в точкеи радиусомописана около данного треугольника.

Мы доказали, что вокруг треугольника можно описать окружность..

Давайте определим, единственная эта окружность или нет. Пусть существует другая описанная окружность с центроми радиусом..

Центр этой окружности, точка, должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Значит, она должна совпадать с точкой..

Точкадолжна быть удалена от точек,,на одинаковое расстояние, и совпадать с точкой, значит,. Таким образом, окружности совпадают.

Итак, мы доказали, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Окружность, описанная вокруг прямоугольника

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Есть параллелограмм. Около него нельзя описать окружность.

Серединные перпендикулярыипараллельны, они не имеют общих точек, иначе это был бы прямоугольник (см. рис. 5).

Около прямоугольника можно описать окружность, и даже можно найти центр этой окружности.

Пусть– прямоугольник. Мы знаем, что диагонали прямоугольника равны между собой, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, точкаравноудалена от всех вершин этого прямоугольника.является радиусом этой окружности.(см. рис. 6)

Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Допустим, есть трапеция, в которой бедра равны:.

Если мы опишем окружность около любых трех точек, например, окружность около точек,и, то точкабудет принадлежать этой окружности.. А почему? Потому что трапеция имеет ось симметрии – серединный перпендикулярк основаниями(см. рис. 7).

Итак, мы видим, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность. Подмечаем, что сумма противоположных углов в таких четырехугольниках равна 180 градусам. Это очень важное замечание:. Оказывается, это свойство любого выпуклого четырехугольника.

Сумма противоположных углов вписанного выпуклого четырехугольника

Пока мы ограничимся рассмотрением только выпуклых четырехугольников и для таких четырехугольников докажем теорему.

Теорема 2: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Доказательство: пусть,(см. рис. 8). Используем теорему о вписанном в окружность угле, тогда дуга.

Дуга. В сумме они составляют всю окружность, а значит,. Делим на два и получаем:.

Еще раз повторим ход доказательства, он прост. Если угол равен, то дуга, на которую он опирается, равна 2. Если вписанный в окружность угол равен, то дуга, на которую он опирается, равна 2.

Если точки, на которые эти углы опираются, совпадают,, а. Что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Дано:.

Доказательство: опишем окружность около трех точек, например,,,.. Докажем, что точкатоже лежит на этой окружности.

Предположим противное, пусть точкане лежит на окружности, а она лежит внутри круга, тогда продлим отрезкиии получим точкии, которые лежат на окружности (cм. рис. 9).

Используем теорему о внутреннем угла окружности. А она говорит, что внутренний угол окружности измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается. Дан угол, который опирается на дугу(см. рис. 10), пусть он измеряется в.

Уголопирается на дугу, который измеряется в:.

Доказано, что

Почему? Достаточно всего лишь провести отрезок, чтобы получить требуемое (cм. рис. 10).

По теореме о вписанном угле,.

Для треугольника, угол– внешний, а внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Т.е., что и говорилось.

Вернемся к рисунку 9: точка– внутренняя точка круга, значит,равен половине дуг, на которые он опирается.

Мы видим, что уголбольше, чем половина дуги.

Уголравен половине оставшейся дуги.

Сложение этих углов дает:.

А так как дугиив сумме составляют всю окружность, то. Значит,.

Противоречие, по условию, сумма противоположных углов равна 180 градусов. А значит, точкане может находиться внутри окружности.

Аналогично доказывается, что точкане может находиться вне окружности.

Задание

Докажите самостоятельно, что точкане может находиться вне окружности. При этом используйте свойство внешнего угла окружности, он измеряется полуразностью дуг, на которые опирается. Сравните ваше доказательство с доказательством, которое будет приведено ниже в разделе: «Точкавне окружности».

Итак, мы доказали, что точкане может находиться внутри окружности, не может находиться вне окружности, точканаходится на окружности. Около четырехугольника можно описать окружность. Теорема доказана.

Задача 1

Из точки, расположенной внутри острого угла, опущены перпендикулярыина стороны угла. Докажите, что четырехугольник– вписанный. Найдите радиус этой окружности, еслиравняется 10 (см. рис. 11).

Дано:;

Найти:.

Решение

Сумма угловиравна 180 градусов, значит, по предыдущей теореме, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Уголравен 90 градусам и является вписанным, значит,– диаметр и равен двум радиусам.

Ответ:.

Задача 2

В треугольникемедианаравняется половине стороны. Длина медианыравна 1. Найти радиус описанной окружности (см. рис. 12).

Дано:;– середина

Найти:.

Решение

Докажем, что уголравен 90 градусов. Есть три равных отрезка.обозначим, значит,тоже.обозначим, значит,тоже.

Сумма всех углов – 180 градусов, значит,.

Углыисоставляют угол, значит, он равен 90 градусов. Таким образом, мы выяснили, что наш треугольник – прямоугольный.

Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, т.е. в точке. Значит, радиус равен.

Ответ:.

Заключение

Мы выяснили, что такое описанная около многоугольника окружность. Установили, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Выяснили, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Точка С вне окружности

Мы доказываем теорему: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Мы провели окружность через три точки,,и доказали, что четвертая вершинане может находиться внутри круга.

Теперь докажем, что точкане может находиться вне круга (см. рис. 13).

Сначала вспомним свойство внешнего угла окружности: есть окружность, точкавне окружности, проведены две секущие.

Получили угол, он опирается на дугу, на дугу(см. рис. 14).

Дано:,

Доказать:.

Доказательство

Доказательство очевидно после единственного дополнительного построения, а именно: проведем. И тогда имеем вписанный угол с вершиной, он опирается на дугу вградусов, значит, его величина –.

(по свойству вписанного угла окружности)

Имеем вписанный угол, он опирается на дугу в, значит, его величина равняется.

(по свойству вписанного угла окружности)

Из:. То есть, откуда. Что и требовалось доказать.

Вернемся к рисунку 13: пустьлежит вне окружности (,,), тогда.

Но уголравен половине дуги:. Складываем полученные неравенства:. Т.к. сумма этих дуг составляет 360 градусов, значит,. А это противоречит условию.

Итак, мы доказали, что точкане может находиться вне окружности (,,).

Если точкане может находиться внутри окружности и не может находиться вне окружности, значит, она находится на окружности. Что и требовалось доказать.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

1. Интернет-портал «nsportal.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «urokimatematiki.ru‎» (Источник).

3. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

Домашнее задание

1. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.

3. Пусть– центр круга, описанного около треугольника. Найдите угол, если: а); б).