02. Параллелограмм

Определение параллелограмма

На прошлом уроке мы рассмотрели понятие выпуклого многоугольника. Теперь изучим частный случай многоугольника – четырехугольник, а точнее – частный случай четырехугольника – параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .

Из того, что  – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: , . Верно и обратное утверждение: если , , то четырёхугольник  – параллелограмм.

Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.

Первое свойство параллелограмма и его доказательство

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

Дано:                                                             

 – параллелограмм (, ).

Доказать:

, ;

, .

Доказательство:

Поскольку нам ничего не известно, кроме того, что  – параллелограмм, то при доказательстве данного свойства мы будем пользоваться определением параллелограмма, то есть параллельностью его противоположных сторон.

Проведем диагональ  и рассмотрим два полученных треугольника и (см. Рис. 2.).

Они имеют общую сторону . Эта сторона  является секущей при параллельных прямых и .

Воспользуемся свойством параллельных прямых, а именно: внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. В нашем случае в роли внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и  и секущей  выступают углы . Аналогичное равенство можно получить и для внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и  и секущей : .

Если теперь сложить полученные равенства, то получим, что: . Или: . Таким образом, мы доказали равенство двух противоположных углов параллелограмма. Осталось доказать равенство второй пары углов и равенство противоположных сторон.

Для этого рассмотрим треугольники: и . Они имеют общую сторону . К стороне  примыкают углы  и  в одном треугольнике, углы  и  в другом треугольнике. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Если записывать строго, то получаем следующую цепочку логических преобразований:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Примечание: при записи факта равенства треугольников необходимо учитывать порядок расстановки букв – буквы, означающие равные углы треугольника, должны идти на одинаковых порядковых местах в обозначении треугольников (в нашем примере: вторая буква  в названии  соответствует углу , как и вторая буква  ).

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов этих треугольников. Значит:

. Таким образом, мы доказали, что если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные углы и стороны попарно равны.

Доказано.

Второе свойство параллелограмма

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано:                                                             

 – параллелограмм (, ).

Доказать: ,  (см. Рис. 3).

Доказательство:

Проведем диагонали  и  и отметим их точку пересечения: . Рассмотрим треугольники  и .

Они равны по второму признаку равенства треугольников (стороне и двум прилежащим к ней углам). Действительно:

 (по 2-му признаку равенства треугольников).

Равенство углов вновь следует из того, что они являются внутренними накрест лежащими при соответствующей секущей и параллельных прямых (которыми являются противоположные стороны параллелограмма по определению). Противоположные стороны равны по доказанному выше свойству 1.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит: , .

Доказано.

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Разберём несколько примеров.

Примеры задач на свойство параллелограмма

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найти его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой (см. Рис. 4).

Дано:

 – параллелограмм, . .

Найти:

, , , - ? 

Решение:

Обозначим меньшую сторону параллелограмма . Учитывая свойство 1 для параллелограмма, запишем следующее равенство: . Из условия: .

Напомним, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. Поэтому можем записать следующее равенство: .

Или: .

Получаем, что стороны параллелограмма: , .

Ответ: и .

Пример 2

Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . , . Найдите периметр параллелограмма.

Дано:

 – параллелограмм,  – биссектриса. . , .

Найти:

- ?

Решение:

Вспомним определение биссектрисы: биссектриса делит угол пополам. Это значит, что: . Кроме того,  является секущей при параллельных прямых . А это значит, что внутренние накрест лежащие углы равны: .

Из этого получается:

.

Так как , то . Откуда: .

Периметр – сумма всех сторон, у параллелограмма противоположные стороны равны. Получаем:

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели определение и свойства параллелограмма, в частности: равенство противоположных сторон и углов, а также то, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, и использовали эти свойства при решении задач.

В дальнейшем мы изучим признаки параллелограмма, а также научимся применять свойства и признаки параллелограмма при решении более сложных примеров.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 49 (а-г),50 (а-г) Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. Найдите периметр параллелограмма , если сторона  равна  и составляет  стороны .

3. Периметр параллелограмма равен . Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на  больше другой.

4. Найдите углы параллелограмма, если градусные меры двух его углов относятся как .

5. Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на  и . Найдите длины диагоналей параллелограмма.