10. Площади фигур. Решение задач

Задача 1

Дан равнобедренный треугольник , из произвольной точки  основания опущены перпендикуляры на боковые стороны. Длины их –  и  соответственно.  – это высота, которая опущена на боковую сторону. Доказать, что сумма  и  равняется высоте  (см. Рис. 1).

Дано: 

;

; ; ;

; .

Доказать: .

Доказательство

Рассмотрим площади треугольников  и : основания у них одинаковы,  – высота первого треугольника,  – высота второго треугольника. Имеем:

ч. т. д.

Задача 2

Дан равносторонний треугольник ,  – произвольная точка внутри треугольника, из которой опущены три перпендикуляра на три стороны, их длины ,  и ,  – высота в треугольнике. Доказать, что  (см. Рис. 2).

Дано:.

Доказать: .

Доказательство

Площадь треугольника состоит из трех площадей треугольников с общей вершиной .

ч. т. д.

Задача 3

Докажем важное свойство биссектрисы угла треугольника:

Биссектриса угла треугольника рассекает противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Части обозначим как  и , а стороны, как  и  соответственно (см. Рис. 3).

Дано:  – биссектриса.

Доказать: .

Доказательство

Имеем две площади  и , биссектриса рассекла треугольник на два треугольника.

Рассмотрим отношение этих площадей:  (так как треугольники имеют общую высоту).

 – биссектриса, т. е. геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Значит, если мы из точки  опустим перпендикуляры на стороны  и , то они будут равны, обозначим их как . Значит, общим у этих треугольников являются их равные высоты, опущенные на разные основания. А значит:  . Отсюда следует: .

ч. т. д.

Запишем это свойство в следующем виде: 

Задача 4

Найти отношение площадей по рисункам:

a) По рисунку 4 найти отношение .

Решение

Так как высоты одинаковы, то площади относятся как основания.

b) По рисунку 5 найти .

Решение

Мы знаем, что оба треугольника имеют один и тот же угол при вершине . Значит: .

Отношение треугольников с общим углом равно произведению отношений соответствующих сторон этих треугольников.

c) По рисунку 5 найти .

Решение

d) По рисунку 5 найти .

Решение

Эти треугольники с одинаковой высотой, их площади относятся как основания.

Эти треугольники равновелики.

Ответ: , , , .

Задача 5

Дан треугольник ,  – средняя линия. Дана площадь треугольника . Найти: a), b), c) (см. Рис. 6).

Решение

a) Чтобы найти площадь четырехугольника , сперва нужно найти площадь треугольника , а для этого надо сравнить площадь тругольника  с площадью треугольника .

(так как у этих треугольников общий угол).

b) Чтобы найти площадь треугольника , сравним его с треугольником . У них одинаковое основание и высота из вершины , то есть эти треугольники равновеликие, .

c) Осталось найти площадь треугольника . Площадь треугольника  удобно сравнить с площадью треугольника . Аналогично предыдущему случаю получаем, что площади этих треугольников равны.

Ответ:,,.

Задача 6

Дано: ,  – медиана,  – биссектриса;

; .

Найти:  (см. Рис. 7).

Решение

1.  – биссектриса и высота в треугольнике . Если биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник – равнобедренный.

Обозначим сторону , сторону , а отрезки  . Значит,  ,. Следовательно, треугольники  и  равны, так как они имеют одинаковые катеты  и  и общий катет .

2.  – биссектриса, а значит, она рассекает противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. А значит:

3. Теперь рассмотрим треугольники  и .

 (так как у них одинаковая высота, а основания лежат на одной прямой и отличаются в два раза).

 – медиана, она рассекает треугольник на два равновеликих треугольника, а значит:

.

Ответ: .

Задача 7

Дано: ; ;; .

Найти:  (см. Рис. 8).

Решение

Обозначим площади треугольников как , , и решение начнем с того, что расставим нужные коэффициенты согласно отношениям сторон в условии.

,

;

1. Найдем отношение площади треугольника  к площади всего треугольника.

 (так как у этих треугольников общий угол)

Точно так же найдем площади  и по отношению к площади всего треугольника.

2. 

2. 

3.  

Ответ: .

Еще раз обсудим ход решения. В произвольном треугольнике зафиксированы на сторонах три точки. Из них получили треугольник. Как найти отношение площади полученного треугольника к площади исходного треугольника? Площадь полученного треугольника – это площадь исходного треугольника без площадей треугольников , , . Каждую из этих площадей мы можем найти через площадь исходного треугольника. В результате получаем нужное нам отношение. В этой задаче особое внимание нужно обратить на свойства треугольников, имеющих общий угол.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9 классы – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Видеохостинг YouTube (Источник).

2. Интернет-сайт «Курсотека» (Источник).

3. Интернет-сайт «fxyz.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. В треугольнике   сторона  , высота  , опущенная на сторону  , равна . Основание 

 высоты   лежит на стороне , длина отрезка   равна длине стороны . Найти длину стороны .

2. В треугольнике  на стороне  взята точка , а на стороне  – точка . Отрезки  и  пересекаются в точке . Найти площадь треугольника , если площади треугольников , ,

 равны соответственно ,,.

3. Известно, что точки  и  лежат соответственно на сторонах  и  треугольника , а точка  – точка пересечения  и . Известно, что площади треугольников  и  равны соответственно 1 и 8, а треугольник  и четырехугольник  равновелики. Найти площадь треугольника .