03. Площадь параллелограмма

Введение

Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

;

Если  – основание, тогда перпендикуляр  называется высотой параллелограмма.

Перпендикуляр можно опустить из любой точки прямой , например, перпендикуляр из точки  – это . Их длины равны хотя бы из свойств параллелограмма  (у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, а значит, ).

Сформулируем центральную теорему данного урока.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство

Имеем равные треугольники: . Почему они равны? Во-первых, они прямоугольные, во-вторых, они имеют равные гипотенузы  (по свойству параллелограмма) и одинаковые острые углы . Следовательно, треугольники равны (см. Рис. 2).

Из равенства треугольников вытекает, что их площади тоже равны: .

Далее рассмотрим площадь трапеции .

Эта площадь состоит из площади параллелограмма  и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция  состоит из прямоугольника  и треугольника .

Что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали важную теорему: площадь параллелограмма равняется произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Если за основание взять другую сторону параллелограмма, а именно сторону , перпендикуляр  будет высотой параллелограмма, проведенной к основанию. Тогда площадь параллелограмма будет равняться:  (см. Рис. 3).

Итак, мы рассмотрели основную теорему и теперь решим задачи на нее.

Задача 1

Задан параллелограмм . Найти площадь  параллелограмма, если:

a) ;  ( – перпендикуляр, опущенный из вершины  на прямую ).

Решение (рис. 4)

 – основание,  – перпендикуляр, проведенный к этому основанию, тогда:

Ответ: 50.

b) ;  ()

Решение (рис. 5)

 – основание,  – высота, тогда:

Ответ: 60.

Задача 2

 – параллелограмм. Найти площадь  параллелограмма, если ; ; .

Решение:

Проведем .  – высота (рис. 6).

Найдем  из прямоугольного треугольника . Катет, лежащий напротив угла , равен половине гипотенузы. Значит, .

Высоту мы нашли, основание известно, значит, площадь равна:

Ответ: 21.

Задача 3

В параллелограмме  , ,  – высота. Найти другую высоту .

Решение (рис. 7):

Высота входит в формулу площади параллелограмма, посчитаем площадь двумя способами: через одну высоту и через другую высоту.

Ответ: .

В этой задаче мы имели длины двух сторон и одну высоту. Мы нашли вторую высоту через площадь параллелограмма.

Задача 4

Острый угол параллелограмма равен , а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 и 3 см. Найдите площадь  параллелограмма.

Решение:

Есть параллелограмм . Проведем из вершины  высоты  и  к прямой  и  (рис. 8) соответственно. Не нарушая общности, мы приняли высоту  за меньшую из высот.

Итак, есть две высоты данного параллелограмма, но нет длины оснований.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, с углом в , катет, лежащий против этого угла, равен 2. Значит, гипотенуза .

Теперь мы имеем основание  и высоту , которая проведена к этому основанию.

Ответ: .

Задача 5

Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

Решение (рис. 9):

Вспомним, что такое ромб и каковы его основные свойства.

Ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны.

Свойства ромба:

• Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

• Расстояние между  и  и расстояние между  и  – равны.

То есть у параллелограмма разные высоты, а у ромба – одинаковые.

Если мы проведем высоту , то получим прямоугольный треугольник . Стороны ромба равны друг другу, значит, .

Рассмотрим треугольник  и из него найдем высоту (рис. 10).

 – высота,  – гипотенуза, а (у любого параллелограмма сумма углов при стороне равна ). Так как  – катет, лежащий напротив угла  в прямоугольном треугольнике :

Теперь у нас есть и основание, и высота, значит, площадь ромба:

Ответ: .

Задача 6

В параллелограмме  из точки  проведена биссектриса  и перпендикуляр  к прямой . ; . Найти площадь  параллелограмма.

Решение:

 – высота, которая проведена из вершины  к прямой . Чтобы найти площадь, нам нужно узнать длину стороны (рис. 11). Каким образом нам ее найти?

Проведена биссектриса , а значит, , но прямые  и  параллельны,  – секущая. Значит,  как накрест лежащие углы.

Тогда имеем треугольник , в котором , то есть это равнобедренный треугольник. . Значит, .

Теперь знаем всё, чтобы найти площадь:

Ответ: .

Заключение

Мы доказали важную теорему: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, которая опущена на это основание. Решили типовые задачи на использование данной теоремы.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

4. Л.С. Атанасян и др. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.

Домашнее задание

1. В параллелограмме  высота  равна . Найдите площадь параллелограмма, если .

2. У параллелограмма  все стороны равны 4 см, а один из его углов . Найдите площадь параллелограмма.

3. В параллелограмме  из точки  проведена биссектриса  и перпендикуляр  к прямой . ; . Найдите площадь  параллелограмма.