04. Площадь треугольника

Площадь треугольника

Дано: ,  – основание,  – высота () (см. Рис. 1).

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство

Достроим треугольник до параллелограмма , как показано на рисунке 2.

Площадь паралеллограмма мы умеем высчитывать.

Рассмотрим параллелограмм :

1.  – параллелограмм.

2.  по трем сторонам (по свойствам параллелограмма противоположные стороны равны, а сторона  – общая) (см. Рис. 3).

3.  – как следствие из равенства треугольников, площадь треугольника равна половине площади паралеллограмма, формула площади параллелограмма нам уже известна, значит:

Что и требовалось доказать. 

Рассмотрим следствия этой теоремы.

Следствия из теоремы о площади треугольника

Следствие 1

Один из катетов прямоугольного треугольника можно принять за основание, тогда второй катет будет высотой.  – основание,  – высота (см. Рис. 4).

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Доказательство

Имеем две параллельные прямые  и , имеем два треугольника , , их высоты равны  (расстояние между прямыми  и ) (см. Рис. 5).

Что и требовалось доказать.

Теорема о зависимости площадей треугольников с одинаковым углом

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Сперва разъясним формулировку.

Имеем тругольник  и треугольник , угол  равен углу , и их можно совместить (см. Рис. 6).

Теорема говорит, что площади этих треугольников относятся следующим образом:

Доказательство

1. Совместим равные углы, как это показано на рисунке 6.

2. Рассмотрим вершины  и , то есть найдем отношение следующих площадей: треугольника  и исходного треугольника  (см. Рис. 7).

3. Теперь найдем отношение площади треугольника  к площади треугольника  (см. Рис. 8):

4. Перемножим найденные отношения:

Что и требовалось доказать.

Задача 1

Дано: ,  – основание,  – высота,  – площадь.

1. ;  (см. Рис. 9).

Найти: .

Решение:

Ответ: .

2. ;  (см. Рис. 10)

Найти: .

Решение:

Ответ: .

Задача 2

В следующей задаче в треугольнике  рассмотрены следующие элементы: две стороны и две высоты, которые проведены к этим сторонам. Три элемента заданы, найти четвертый элемент.

Дано: , , ,  (см. Рис. 11).

Найти: .

Решение

Площадь треугольника можно выразить через известную высоту и через неизвестную высоту.

Ответ: .

Задача 3

Дано: , , (см. Рис. 12).

Найти: , .

Решение

Обозначим катеты треугольника как , значит:

Ответ: .

Задача 4

Дано:  (см. Рис. 13). 

Найти:

1. ;

2. .

1. Рассмотрим, что общего у треугольников  и . Их основания лежат на одной и той же прямой, значит, высота у них одинакова. А значит, площади относятся как основания из второго следствия. Поэтому:

2. Что общего у треугольников  и ? Одно основание – , второе основание – , высота одинакова, значит:

Ответ: 1. ; 2. .

Еще раз подчеркнем, что в этой задаче у всех трех треугольников была общая высота , это и помогло нам решить задачу.

Заключение

Мы рассмотрели важную теорему о площади треугольника, следствия из нее. Решили типовые задачи.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия», 7–9 классы. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Диагонали четырехугольника  пересекаются в точке . Докажите, что произведение площадей треугольников  и  равно произведению площадей треугольников  и .

2. Основание треугольника на 4 меньше высоты, а площадь треугольника равна 96. Найдите основание и высоту треугольника.

3. Внутри параллелограмма  выбрана произвольная точка  и проведены отрезки , ,  и . Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?