09. Площадь

Площади некоторых четырехугольников

Вспомним основные формулы площади основных фигур.

Квадрат

, где – длина стороны квадрата.

Прямоугольник

, где и – длины сторон прямоугольника.

Параллелограмм

Площадь определяется стороной и опущенной к ней высотой.

, где и – длины сторон,  и  – длины высот, опущенных к соответствующим сторонам (см. Рис. 1).

Площадь треугольника

Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, если провести в параллелограмме диагональ, получим два треугольника (см. Рис. 2). В таком случае имеем формулу: .

Площадь треугольника можно выразить иначе (см. Рис. 3).

Выразим высоту  из прямоугольного треугольника : .

Подставим полученное выражение в формулу площади, получим:

Кроме того, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: , где – радиус вписанной окружности, – полупериметр треугольника.

Рассмотрим происхождение данной формулы. Помним, что для треугольников со вписанной окружностью есть методика решения задач: провести в треугольнике биссектрисы, найти их точку пересечения – центр вписанной окружности; найти расстояние от центра до сторон треугольника – радиусы, получить точки касания.

, и ; далее нужно было бы отметить равные касательные и их связь со сторонами, но в данном случае в этом нет необходимости (см. Рис. 4).

Площади слагаемых выразим через сторону и высоту, причем высотой в данных треугольниках является радиус вписанной окружности:

, ,

Вынесем общий множитель за скобки:

По этой же формуле можно вычислять радиус описанной окружности.

Кроме того, площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности:

Площадь трапеции

Пусть заданы трапеция и ее средняя линия (см. Рис. 5). Напомним, что средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции, параллельна ее основаниям и равна их полусумме: .

Напомним, что высотой трапеции называют расстояние между ее основаниями. Обозначим высоту данной трапеции , среднюю линию обозначим за . Высоты и средней линии трапеции достаточно, чтобы найти ее площадь:

Решение задач

Задача 1: в треугольнике  точка переместилась по стороне ближе к точке , так что , аналогично точка переместилась, так что . Получили новый треугольник  (см. Рис. 6). Доказать, что .

Доказательство:

Напомним, что площадь можно выразить как произведение сторон на синус угла между ними, получим:

Таким образом, если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей, а мы знаем, что любой многоугольник можно разбить на треугольник, и таким образом выполнять сравнение.

Задача 2: найти отношение площадей подобных треугольников.

Дано: .

Несложно доказать, что .

Напомним отношение периметров подобных треугольников:

В заключение рассмотрим, каким образом диагонали параллелограмма разобьют его площадь.

Задача 3: доказать, что диагонали параллелограмма рассекают его площадь на четыре равновеликих треугольника.

Дано: параллелограмм , .

Доказать: .

Напомним, что, согласно свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим два треугольника и отношение их площадей:

 – высота, опущенная из вершины на сторону , – является высотой для двух рассматриваемых треугольников. Получаем:

Таким образом, рассматриваемые площади треугольников равны. Аналогично можно доказать равенство остальных площадей и оттуда взять заданное выражение.

Докажем с помощью площади свойство биссектрисы.

Задача: биссектриса треугольника  рассекла сторону на отрезки и (см. Рис. 8). Доказать, что полученные отрезки относятся как прилежащие к ним стороны треугольника:

Доказательство:

Обозначим площади маленьких треугольников: , .

Выразим площади разными способами: , где  – высота, опущенная из вершины .

,

Приравняем правые части полученных выражений, получаем:

Итак, мы вспомнили, как находить площадь различных многоугольников, вывели много вариантов формулы площади треугольника и решили несколько задач, пользуясь выведенными формулами.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «edu.glavsprav.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: пусть – точка пересечения диагоналей четырехугольника . Докажите, что .

2. Задание 2: на сторонах , и треугольника  взяты точки , и так, что , , . Площадь треугольника  равна 1. Найдите площадь треугольника .

3. Задание 3: вершины , , и параллелограмма соединены прямыми соответственно с серединами сторон , , и . Найдите площадь параллелограмма, ограниченного этими прямыми, если площадь параллелограмма равна 1.