01. Подобие общих фигур

Равенство геометрических фигур

Как мы уже знаем, фигурой в геометрии называется множество точек на плоскости. Прямая, отрезок, луч, треугольник, окружность, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

В повседневной жизни нас с вами окружают множество различных предметов. Часть из них имеют одинаковые размеры и одинаковую форму. Например, две одинаковые ручки или две одинаковых монеты и т.д. В геометрии фигуры, имеющие одинаковые размеры и форму, называются равными фигурами.

Из этого определения следует, например, что если прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то это не значит, что они являются равными фигурами, так как это разные по форме фигуры. Другой пример: любые две окружности имеют одну и ту же форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры. Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами.

Следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.

Если же мы имеем дело с произвольными фигурами, то иногда даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Таким образом, нужно иметь надежный метод сравнения фигур. Он заключается в следующем: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Но как быть в том случае, когда, скажем, длина стороны треугольника равнакм? В данном случае можно воспользоваться признаками равенства треугольников, которые мы рассматривали на предыдущих уроках. Смысл этих признаков в следующем: равенство трех элементов треугольников гарантирует равенство самих треугольников, а значит, и равенство остальных элементов, которые совместятся при наложении (биссектрис, высот, медиан).

Примеры подобия фигур

А что если форму оставить без изменений, а все размеры пропорционально изменить (увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз)?

Рассмотрим данную ситуацию на примере треугольника.

Пример 1

Пусть дан правильный треугольниксо стороной(см. рис. 1).

Уменьшив стороны треугольникавраза, получим правильный треугольниксо стороной(см. рис. 2). То есть форма треугольника осталась прежней, а все размеры изменились (уменьшились) враза. Докажем это.

с уменьшенными сторонами

Доказательство:

Такой треугольник мы уже встречали на предыдущих уроках. Это треугольник, вершины которого лежат на серединах сторон исходного треугольника (см. рис. 3).

То есть из исходного правильного треугольника мы получили другой правильный треугольник, длина стороны которого уменьшилась враза.

Такие треугольники в геометрии называются подобными.

Обозначение:.

Коэффициент подобия – это число, равное отношению сходственных сторон в подобных фигурах. В нашем случае коэффициент подобия равен.

Обозначение:.

Пример 2

Дом на большом расстоянии имеет форму прямоугольника. Если постепенно приближаться к нему можно заметить, что его форма не меняется, но его размеры увеличиваются. Из этого можно сделать вывод, что его размеры изменяются в одинаковое число раз. Это ещё один пример подобных фигур.

Пример 3

Подобие фигур также используется при нанесении местности на карту. Возьмем, например, Крым и его изображение на карте с масштабом. Понятно, что форма Крыма на карте аналогична реальной форме, но размеры изменены враз.

Таковы при­ме­ры подобных фигур – фигур, ко­то­рые имеют оди­на­ко­вую форму, но раз­ные раз­ме­ры. При­чем раз­ме­ры из­ме­ня­ют­ся в одно и то же число раз.

Примеры применения подобия фигур

Можно сформулировать признаки подобия треугольников. Эти признаки позволяют по некоторой информации об исходных треугольниках получить более подробную (дополнительную) информацию о них.

Пример 4

Пусть естьподобных треугольникас коэффициентом подобия. Тогда можно утверждать, что соотношение длин соответствующих сторон треугольников пропорционально. То есть:. Как и в случае признаков равенства, гарантируется пропорциональность соответствующих элементов треугольников (медиан, биссектрис, высот и т.д.).

Рассмотрим еще один подобный пример.

Пример 5

Предположим, что коэффициент подобия треугольниковиравен. Тогда для них можно записать следующее соотношение:. Из этого следует, что. Как мы уже знаем, по третьему признаку эти треугольники будут равными (Второй и третий признаки равенства треугольников). Отсюда можно сделать вывод, что равенство фигур является частным случаем подобия фигур с коэффициентом.

Признаки подобия фигур, в частности признаки подобия треугольников, являются полезными приемами в математике, они применяются для упрощения и решения множества задач. Однако для изучения этих признаков необходимо перевести некоторые понятия на строгий математический язык. 

Пропорциональные отрезки

Понятия «отношение» и «пропорциональность» играют важную роль в изучении признаков подобия фигур.

Для начала рассмотрим понятие отношения отрезков на примере отрезкови(см. рис. 4).

Определение

Отношение длин отрезковиназывается отношением отрезкови.

Рассмотрим задачу на данное определение.

Задача 1

Дано

Два отрезкаи

Найти

Отношение отрезкови

Решение

Поскольку отношение отрезков – это отношение длин соответствующих отрезков, то имеем:

Ответ:.

Отметим, что отношение отрезков – это безразмерная величина.

Теперь предположим, что отношение пары отрезков иравно отношению пары других отрезкови. Это записывается следующим образом:

В таком случае говорят о пропорциональности отрезков. А именно: отрезкиипропорциональны отрезкамисоответственно.

По свойству пропорциииможно поменять местами:. От этого смысл выражения не поменяется.

Пропорциональные отрезки встречаются в формулировке обобщенной теоремы Фалеса (Задачи на параллелограмм).

Теорема Фалеса

Стороны угла рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части (см. рис.5). То есть:

Аналогичное соотношение можно записать и для суммы длин отрезков:

Подобие треугольников

Рассмотрим два треугольникаи, у которых соответствующие углы равны (см. рис. 6):

Стороны, которые лежат против равных углов треугольников, называются сходственными.

Перечислим сходственные стороны:и(лежат против равных углов),и(лежат против равных углов),и(лежат против равных углов).

Определение

Два треугольникаиназываются подобными, если соответствующие углы равны, а сходственные стороны – пропорциональны:

Причем  , где– это коэффициент подобия треугольников.

Оказывается, можно ограничиться лишь некоторыми из этих равенств чтобы гарантировать факт подобия. В этом заключается суть признаков подобия треугольников, которые подробно будут рассмотрены на следующих уроках.

Можно заметить, что пропорциональные отрезки играют важную роль в определении подобных треугольников. Рассмотрим задачу на пропорциональность отрезков.

Задача на пропорциональность отрезков

Теорема

Биссектриса угла треугольника рассекает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Докажем эту теорему.

Дано

Произвольный треугольник,– биссектриса угла.

Доказать

Доказательство

Запишем выражения для площадей образовавшихся треугольникови. Для этого опустим высоту из вершины.Выполним рисунок к задаче (см. рис. 1).

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту получаем:,. Теперь найдем отношение этих площадей:

С другой стороны, биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Этим свойством обладают все точки, принадлежащие биссектрисе, в том числе точка. Поэтому расстояние от точкидо сторон одинаковое, обозначим его. Тогда высоты треугольникови, опущенные к соответствующим основаниями, равны. Можно переписать отношение площадей этих треугольников:

Левые части этих двух равенств равна, значит и правые часть также равны:

Теорема доказана.

На данном уроке мы рас­смот­ре­ли по­до­бие фигур, вспомнили признаки равенства треугольников, дали опре­де­ле­ние по­доб­ным тре­уголь­ни­кам. Вспом­ни­ли о про­пор­ци­о­наль­но­сти от­рез­ков, тео­ре­му Фа­ле­са и их роль в ре­ше­нии дан­ных задач.

Спи­сок ре­ко­мен­до­ван­ной ли­те­ра­ту­ры

1. Алек­сан­дров А.Д. и др. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

2. Бу­ту­зов В.Ф., Ка­дом­цев С.Б., Пра­со­лов В.В. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2011.

3. Мерз­ляк А.Г., По­лон­ский В.Б., Якир С.М. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: ВЕН­ТА­НА-ГРАФ, 2009.

Ре­ко­мен­до­ван­ные ссыл­ки на ре­сур­сы сети Ин­тер­нет

1. Интернет-портал «egemaximum.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «ru.solverbook.com» (Источник).

3. Интернет-портал «math10.com» (Источник).

До­маш­нее за­да­ние

1. Могут ли быть по­доб­ны­ми: а) пря­мо­уголь­ный и рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ни­ки; б) рав­но­бед­рен­ный и рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ни­ки; в) тре­уголь­ник с угломи тре­уголь­ник с углом?

2. Из от­рез­ков дли­ной,,,,исм со­ста­ви­ли два по­доб­ных между собой тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков.