13. Взаимное расположение точки и окружности. Обобщение. Решение задач

Геометрическая конструкция «точка на окружности»

Рассмотрим важную теорему о вписанном угле.

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 1).

;

Важные следствия из данной теоремы:

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 2).

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Следствие 2:

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 3).

Из точки на окружности выходят хорда и касательная. – угол между касательной и хордой. Данный угол обладает важным свойством.

Свойство

Угол между касательной и хордой измеряется половиной отсекаемой дуги  (см. Рис. 4).

Обозначим угол за . У нас задана касательная к окружности , – радиус, проведенный в точку касания. Отсюда . В таком случае . Отсюда угол .

Треугольник  равнобедренный, т.к. у него  как радиусы окружности. Отсюда равенство углов при основании : .

Сумма трех углов треугольника составляет . Отсюда найдем угол :

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Следствие:

На дугу  опираются вписанные углы , и т.д., они измеряются половиной градусной меры дуги, на которую они опираются, отсюда они все равны углу между касательной и хордой.

Мы рассмотрели свойства простой, но очень важной геометрической конструкции – точки на окружности. Эта конструкция описывается теоремой о вписанном угле и свойством угла между касательной и хордой. И та, и другая теорема широко используются при решении различных задач.

Геометрическая конструкция «точка вне окружности»

Рассмотрим следующую важную геометрическую конструкцию – окружность и точка вне окружности.

Теорема

Произведение секущей на внешнюю ее часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной (см. Рис. 5).

Задана окружность с центром , точка лежит вне окружности. Касательная , секущие (внешняя часть ) и (внешняя часть ).

Доказать: .

Доказательство:

Выберем произвольную секущую, например, , и докажем теорему для нее, этого будет достаточно. Доказательство основано на подобии треугольников. . Они имеют общую вершину , угол  входит в оба треугольника. Угол – угол между касательной и хордой, пусть он равен , тогда любой угол, опирающийся на ту же дугу – на дугу , равен . Отсюда угол . Значит, треугольники подобны по двум углам. Осталось выписать отношение подобия:

Воспользуемся свойством пропорции:

, что и требовалось доказать.

Следующее важное свойство изучаемой конструкции касается внешнего угла (см. Рис. 6).

Задана окружность, точка лежит вне окружности. Две секущие – и . Угол – внешний угол. Он опирается на две дуги: дуга , пусть ее градусная мера , тогда соответствующий центральный угол имеет градусную меру ; дуга , пусть ее градусная мера , угол .

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . В нем ; . Для треугольника  угол – внешний угол, значит, он равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним:

Выразим угол :

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается.

Геометрическая конструкция «точка внутри окружности»

Еще одна геометрическая конструкция – точка внутри окружности.

Теорема

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная для данной точки (см. Рис. 7).

Доказать, что .

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и . Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы  и ; вписанные углы  и  опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение: , что и требовалось доказать.

Следующее свойство касается внутреннего угла.

Свойство

Внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается (см. Рис. 8).

Задана окружность с центром . Хорды и , пересекающиеся в точке . Внутренний угол обозначим за .

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . В нем вписанный угол опирается на дугу , ее градусную меру мы обозначили как , отсюда ; вписанный угол опирается на дугу градусной мерой , отсюда угол . Угол  – внешний угол для данного треугольника, он равен сумме двух углов, несмежных с ним:

Решение задачи

Мы доказали, что внутренний угол измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается.

Задача

Задан равнобедренный треугольник, ,  . Найти радиус описанной окружности.

Треугольник  полностью задан, мы можем найти в нем любые элементы, но задано найти только радиус описанной окружности.

Решение:

Мы помним, что центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. – медиана, биссектриса и высота – первый серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к – , точка пересечения серединных перпендикуляров – точка – центр описанной окружности. Таким образом, нужно найти расстояние от точки до любой вершины – например, или , это и будет радиус описанной окружности.

По теореме Пифагора найдем :

, ,

Рассмотрим треугольник : в нем – радиус описанной окружности, , . Применим теорему Пифагора:

Упростим составленное выражение:

, ,

Выводы по уроку

Итак, мы закончили изучение темы «Окружность» и повторили все основные факты. Далее мы перейдем к изучению векторов.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «edu.glavsprav.ru» (Источник). 

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник). 

3. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник). 

4. Интернет-портал «raal100.narod.ru» (Источник). 

5. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник). 

6. Интернет-портал «samlib.ru» (Источник). 

Домашнее задание

1. Задание 1 – найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , .

2. Задание 2 – докажите, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.

3. Задание 3 – докажите, что если касательные, проведенные через концы хорды, параллельны, то эта хорда – диаметр окружности.