11. Повторение теории и решение задач

Определение, виды и свойства трапеции

Ранее мы уже познакомились с такими видами четырехугольников, как параллелограмм и трапеция, и их частными случаями – прямоугольником, ромбом и квадратом. Мы изучили их основные свойства и признаки. Сегодня мы повторим и обобщим все полученные нами знания по этой теме.

Повторим основной теоретический материал.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).

Выделяют два отдельных типа трапеций: равнобедренную и прямоугольную.

Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 2).

Прямоугольная трапеция – это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию (см. Рис. 3).

Отдельно стоит вспомнить такой важный элемент трапеции, как ее средняя линия.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (см. Рис. 4).

Основные свойства средней линии трапеции:

1. ,  – параллельна основаниям трапеции;

2.  – равна их полусумме.

Определение, свойства и признаки параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 5).

Основные свойства параллелограмма:

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 6), то этот четырехугольник  – параллелограмм.

- параллелограмм.

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 7), то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 8), то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм.

Теперь повторим частные случаи параллелограмма.

Определение, свойство и признак прямоугольника

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 9).

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны (см. Рис. 10).

.

Теорема. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (см. Рис. 11).

Определение и свойство ромба

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны (см. Рис. 12).

Замечание. Для определения ромба достаточно указывать даже более короткое утверждение, что это параллелограмм, у которого равны две смежные стороны .

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, т.к. является его частным случаем, но имеет и свое специфическое свойство.

Теорема. Свойство ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (см. Рис. 13).

Определение и свойства квадрата

Квадрат – 1) прямоугольник, у которого стороны равны; 2) ромб, у которого углы прямые (см. Рис. 14). Указанные определения эквивалентны и применяются в любой удобной форме.

Квадрату присущи свойства тех фигур, частным случаем которых он является (параллелограмм, прямоугольник, ромб). Перечислим их.

Основные свойства квадрата (см. Рис. 15):

1. Все углы прямые.

2. Диагонали равны.

3. Диагонали перпендикулярны.

4. Точка пересечения делит диагонали пополам.

5. Диагонали делят углы квадрата пополам.

Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма

Теперь, когда мы перечислили и вспомнили основные свойства основных изученных четырехугольников, мы можем закрепить эти знания на примере решения задач.

Пример 1. (Обобщенная задача на трапецию и параллелограмм). Дана трапеция  или параллелограмм  (см. Рис. 16). и - биссектрисы углов при боковой стороне трапеции (параллелограмма). Найти угол между биссектрисами .

Решение. Это пример задачи, демонстрирующий схожесть некоторых свойств параллелограмма и трапеции, в нем не важно, какая конкретно из этих двух фигур задана. Изобразим рисунок.

и  – биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их  и .

По свойству трапеции (параллелограмма) .

Рассмотрим : .

Ответ: .

Теорема Фалеса и задача на ее применение

Вспомним формулировку теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (см. Рис. 17).

Рассмотрим задачу на трапецию с применением теоремы Фалеса.

Пример 2. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длину этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Решение. Изобразим Рис. 18 со всеми элементами, которые пригодятся нам в процессе решения. Известно, что , , , . Найти длины и .

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Фалеса относительно угла , проведем прямые .

Сначала рассмотрим параллелограмм , в нем по свойству .

Вернемся к проведенным параллельным прямым, по теореме Фалеса: . . Поскольку отрезок  разделен на три равные части, то .

Теперь, если внимательно посмотреть на параллелограммы, образованные пересечениями линий и  с проведенными нами прямыми , можно легко определить длины отрезков и : , .

Ответ: , .

Пример 3. Основания трапеции относятся как . Средняя линия равна 5 м. Найдите основания.

Решение. Изобразим Рис. 19 и укажем, что нам дано: , . Найти  и .

Поскольку известно, что , то выразим основания трапеции через условные части : , . Запишем свойство средней линии трапеции:

, .

Ответ: , .

Разные задачи на четырехугольники

Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.

Решение. Внутри угла с вершиной  дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.

Отложим отрезок  из точки  через точку  так, чтобы , затем проведем отрезки и , получим точки пересечения со сторонами угла  и  соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.

Построенная фигура  является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки и  являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.

Ответ. Искомая прямая – .

Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 21.

Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку или , получаем, что , . Подставим это в формулу периметра прямоугольника:

Ответ: , .

Сегодня мы повторили и закрепили знания по теме «четырехугольники». На следующем уроке мы поговорим о симметрии в четырехугольниках.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «pedsovet.su» (Источник).

Домашнее задание

1. Стр. 55-59: № 49-58 (по одному любому пункту). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.

3. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

4. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найти длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 23 см и 15 см.

5. Построить квадрат по диагонали.