04. Векторы (повторение теории, задачи)

Основные определения

Напомним, что существуют такие физические величины, для которых важна не только величина, но и направление. Такие величины называются векторными, или векторами, и обозначаются они направленным отрезком, то есть таким отрезком, у которого отмечены начало и конец. Введено было понятие коллинеарных векторов, то есть таких, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Мы рассматриваем вектор, который можно отложить от любой точки, заданный вектор от произвольно выбранной точки можно отложить единственным образом.

Было введено понятие равных векторов – это такие сонаправленные векторы, длины которых равны. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.

Были введены правила треугольника и параллелограмма – правила сложения векторов.

Заданы два вектора – векторы  и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки вектор .  – направленный отрезок, точка – его начало, а точка – конец. Из точки отложим вектор . Тогда вектор  называют суммой заданных векторов:  – правило треугольника (см. Рис. 1).

Задано два вектора – векторы  и . Найдем сумму этих двух векторов  по правилу параллелограмма.

Откладываем из точки вектор  и вектор  (см. Рис. 2). На отложенных векторах можно построить параллелограмм. Из точки откладываем вектор , векторы  и  равны, стороны и параллельны. Аналогично параллельны и стороны и , таким образом, мы получили параллелограмм. – диагональ параллелограмма.

Правила сложения векторов

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника (см. Рис. 3). Нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее, когда все векторы отложены – соединить начальную точку с концом последнего вектора, в итоге получится сумма нескольких векторов.

Кроме того, мы рассмотрели понятие обратного вектора – вектора, имеющего такую же длину, как заданный, но ему противонаправленного.

Решение примеров

Пример 1 – задача 747: выпишите пары коллинеарных сонаправленных векторов, которые определяются сторонами параллелограмма; укажите противоположно направленные векторы;

Задан параллелограмм (см. Рис. 4). Выпишем пары коллинеарных векторов. В первую очередь это векторы  и . Они не только коллинеарные, но и равные, т.к. они сонаправлены, и длины их равны по свойству параллелограмма (в параллелограмме противоположные стороны равны). Следующая пара . Аналогично выпишем коллинеарные векторы второй пары сторон: ; .

Противоположно направленные векторы: , , , .

Пример 2 – задача 756: начертите попарно неколлинеарные векторы ,  и . Постройте векторы ; ; ; .

Для выполнения данного задания можем пользоваться правилом треугольника или параллелограмма.

Способ 1 – с помощью правила треугольника (см. Рис. 5):

Способ 2 – с помощью правила параллелограмма (см. Рис. 6):

Комментарий: мы применяли в первом способе правило треугольника – откладывали из произвольно выбранной точки А первый вектор, из его конца – вектор, противоположный второму, соединяли начало первого с концом второго, и таким образом получали результат вычитания векторов. Во втором способе мы применили правило параллелограмма – построили на нужных векторах параллелограмм и его диагональ – искомую разность, помня тот факт, что одна из диагоналей – это сумма векторов, а вторая – разность.

Пример 3 – задача 750: докажите, что если векторы  и  равны, то середины отрезков и совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков и совпадают, то векторы  и  равны (см. Рис. 7).

Из равенства векторов  и  следует, что прямые и параллельны, и что отрезки и равны. Вспомним признак параллелограмма: если у четырехугольника пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, и их длины равны, то данный четырехугольник – параллелограмм.

Таким образом, четырехугольник , построенный на заданных векторах, – параллелограмм. Отрезки и являются диагоналями параллелограмма, одно из свойств которого: диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, доказано, что середины отрезков и совпадают.

Докажем обратное утверждение. Для этого воспользуемся другим признаком параллелограмма: если в некотором четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Отсюда четырехугольник – параллелограмм, и его противоположные стороны параллельны и равны, таким образом, векторы  и  коллинеарны, очевидно, что они сонаправлены, и модули их равны, отсюда векторы  и  равны, что и требовалось доказать.

Пример 4 – задача 760: докажите, что для любых неколлинеарных векторов  и  справедливо неравенство  (см. Рис. 8)

Отложим из произвольной точки вектор , получим точку , из нее отложим неколлинеарный ему вектор . По правилу параллелограмма или треугольника получим сумму векторов  – вектор . Имеем треугольник .

Длина суммы векторов соответствует длине стороны треугольника. По неравенству треугольника длина стороны меньше, чем сумма длин двух других сторон и , что и требовалось доказать.

Итак, мы вспомнили все основные определения и свойства векторов, вспомнили основные операции над векторами и решили различные примеры на выполнение этих операций.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «khd2.narod.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: дан треугольник . Найдите сумму векторов  и ;  и ;  и ;  и .

2. Задание 2: в параллелограмме диагонали пересекаются в точке . Выразите векторы  и  через стороны , .

3. Задание 3: дан параллелограмм , , , выразите , , ,  через  и .